Tengo un avión ( $ax+by+cz+d=0$ ) en un mundo 3D, y un vector de gravedad $\vec{g}$ (digamos que es $[0, 0, -9.81]$ .) ¿Cómo encontraría el vector de aceleración de un objeto en este plano, ignorando la fricción?
Respuestas
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Lo que quieres hacer es proyectar $\vec{g}$ en el avión. Primero consideraremos un nuevo plano: $ax+by+cz=0$ . Este plano es paralelo al anterior, por lo que nuestro resultado no cambiará, pero pasa por el origen. Entonces necesitamos un vector normal de este plano. En este caso, tenemos suerte porque tenemos esta forma particular de la ecuación del plano. Un vector normal es en este caso $\vec{n}=[a,b,c]$ .
Ahora crearemos una línea que pase por $\vec{g}$ y en paralelo a $\vec{n}$ . Entonces obtenemos la siguiente ecuación-parámetro (no conozco el término adecuado): $$\vec{x}=\lambda\vec{n}+\vec{g}$$ Donde $\lambda$ es el parámetro La intersección de esta línea con nuestro plano será $\vec{g}$ proyectada en nuestro avión. Llamemos a este punto de intersección $\vec{p}$ . Para $\vec{p}$ debe ser cierto que: $$\vec{p}\text{ is on our line: }ap_x+bp_y+cp_z=\vec{p}\cdot\vec{n}=0$$ $$\vec{p}\text{ is on our plane: }\lambda\vec{n}+\vec{g}=\vec{p}$$ Introduciendo la segunda ecuación en la primera obtenemos: $$(\lambda\vec{n}+\vec{g})\cdot\vec{n}=\lambda\vec{n}\cdot\vec{n}+\vec{g}\cdot\vec{n}=0$$ $$\Rightarrow\lambda=-\frac{\vec{g}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}$$ Introduciendo esto en la primera ecuación obtenemos: $$\vec{p}=\vec{g}-\frac{\vec{g}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\vec{n}$$ En su ejemplo ( $\vec{g}=[0, 0, -9.81]$ ) parece: $$\vec{p}=\begin{bmatrix} \frac{9.81c}{a^2+b^2+c^2}a\\ \frac{9.81c}{a^2+b^2+c^2}b\\ \frac{9.81c}{a^2+b^2+c^2}c-9.81\\ \end{bmatrix}$$
David Quinn
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7591
Se busca encontrar la componente del vector gravedad en la dirección de la línea de mayor pendiente del plano.
Tomando el vector gravedad como vertical hacia abajo, el vector paralelo al plano que es horizontal es $$\underline{n}\times\underline{\hat{g}}=\left(\begin{matrix}-b\\a\\0\end{matrix}\right)$$
Entonces la línea de mayor pendiente es $$\left(\begin{matrix}-b\\a\\0\end{matrix}\right)\times\underline{n}=\left(\begin{matrix}ac\\bc\\-a^2-b^2\end{matrix}\right)$$
Ahora calcula el componente de $$\left(\begin{matrix}0\\0\\-g\end{matrix}\right)$$ en esta dirección, que es $$\frac{g(a^2+b^2)}{\sqrt{a^2c^2+b^2c^2+(a^2+b^2)^2}}$$
irchans
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36
Me gusta pensar en términos de proyecciones. La proyección de un vector $v$ en un plano con normalidad $n$ es $$p= v - n \;(v\cdot n) /(n \cdot n)$$ donde $(x_1, y_1, z_1) \cdot (x_2,y_2,z_2) = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$ .
Así, la proyección del vector gravedad sobre su plano es simplemente $$ p = g - n\; (g\cdot n) /(n \cdot n).$$
Configurar $g=(0,0,-9)$ y $n=(a,b,c)$ obtenemos $$ \begin{aligned} p &= (0,0,-9) - (a,b,c) \frac{(0,0,-9)\cdot (a,b,c)}{ a^2+b^2+c^2}\\ &= (0,0,-9) + (a,b,c)\frac{9c}{ a^2+b^2+c^2}. \end{aligned} $$ (Esto coincide con las respuestas de WE-Tutotial-School, David Quinn y CodingDragon04).
