Un problema de lógica

Question

Si A,B y C son afirmaciones tales que C es verdadera sólo si exactamente una de A y B es verdadera.Si C es
falso, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

$1$ Si A es falso, entonces B es falso.

$2$ Si A es verdadero, B es falso.

$3$ Tanto A como B son ciertas.

$4$ Tanto A como C son falsas.

Answer 1

Sólo es cuestión de interpretar correctamente la información dada.

Lo que se nos da es que si $C$ es verdadero, entonces exactamente uno de $A$ y $B$ es cierto.

Ahora, si $C$ es falsa, nuestra hipótesis no se satisface y no estamos seguros de nada sobre $A$ y $B$ . Así, $A$ y $B$ podría ser cualquier cosa.

No te confundas pensando que el enunciado dado está diciendo que "si exactamente uno de $A$ y $B$ es verdadera, entonces $C$ es cierto".

Answer 2

Sugerencia
Hay dos casos si $C$ es falso :
Primer caso : $A$ Es cierto, $B$ verdadero
Segundo caso : $A$ falso, $B$ falso

C se denomina función XOR.

Te dejo terminar el ejercicio y comprobar las respuestas.

Soluciones
1 es

verdadero

2 es

falso

3 es

falso

4 es

falso

Answer 3

OK, así que asumiendo que te refieres a un exclusivo o (que creo que es correcto) y que $P$ sólo si $Q$ significa $P \rightarrow Q$ (es decir, si $P$ entonces $Q$ )...que se explica aquí Entonces lo has hecho:

\begin{align} \left((A \wedge \neg B) \vee (\neg A \wedge B)\right) \rightarrow C =& \neg\left((A \wedge \neg B) \vee (\neg A \wedge B)\right) \vee C \\ = & \left(\neg(A \wedge \neg B) \wedge \neg(\neg A \wedge B)\right) \vee C\\ =& \left((\neg A \vee B) \wedge ( A \vee \neg B)\right) \vee C \\ =& \left((\neg A \wedge ( A \vee \neg B)) \vee (B \wedge ( A \vee \neg B))\right)\vee C \\ =& \left(((\neg A \wedge A) \vee (\neg A \wedge \neg B)) \vee ((B \wedge A) \vee (B \wedge \neg B))\right)\vee C \\ =& \left((\neg A \wedge \neg B) \vee (B \wedge A) \right)\vee C \\ \end{align}

Creo que eso es lo más lejos que podemos llegar ya sea $C$ es verdadera (independientemente de $A$ y $B$ ), ambos $A$ y $B$ son falso o ambos $A$ y $B$ son verdaderas (nótese que las dos últimas condiciones niegan la exclusivo o haciendo que la implicación sea trivialmente cierta).

Suponiendo que $C$ es falso, entonces nos queda: $(\neg A \wedge \neg B) \vee (B \wedge A)$ . Esto significa que cualquier valor $A$ tiene, entonces $B$ tiene y viceversa. Esto hace que la primera afirmación sea verdadera, la segunda definitivamente falsa, la tercera falsa (porque $A$ y $B$ podría ambos ser falsa), y la cuarta afirmación falsa (porque $A$ podría ser cierto y $B$ podría ser cierto... y por supuesto $C$ es falsa ya que esta era nuestra suposición).

...nota que si miramos el caso cuando $C$ es verdadera, entonces todas estas afirmaciones son trivialmente verdaderas (no necesitamos comprobar ese caso).