$$\int_1^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx$$ $$u=\frac{1}{x}$$ $$du=-\frac{1}{x^2}dx$$ $$dv=\sin xdx$$ $$v=-\cos x$$ $$\int_1^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{1}{x}(-\cos x)-\int_1^{\infty}\frac{\cos x}{x^2}dx$$ $$\int_1^{\infty}\frac{\cos x}{x^2}dx<\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}dx$$ Así que converge. Ahora necesito saber si $\int_1^{\infty}|\frac{\sin x}{x}|dx$ converge o diverge.
Respuesta
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Deje $N \in \Bbb N, N > 1$, tenemos:
\begin{align} \int_0^{2\pi N} \left|\frac{\sin x}{x}\right|\,dx &= \sum_{n=0}^{N-1} \int_{2\pi n}^{2\pi(n+1)} \left|\frac{\sin x}{x}\right|\,dx \\ &\ge \sum_{n=0}^{N-1} \frac{1}{2\pi (n+1)} \int_{2\pi n}^{2\pi(n+1)} \left|\sin x\right|\,dx \\ &= \sum_{n=0}^{N-1} \frac{1}{2\pi (n+1)} \int_{0}^{2\pi} \left|\sin x\right|\,dx \\ &= \sum_{n=0}^{N-1} \frac{2}{\pi (n+1)} \end{align}
La última suma diverge como $N \to \infty$, y también lo hace el original de la integral.
Su integral es en $[1, \infty]$, pero también diverge porque $\left|\frac{\sin{x}}{x}\right|$ es continua en a $[0, 1]$. Mi prueba es en $[0, \infty]$ porque hace que la gestión de la suma poco más fácil.
