Cálculo de $\int_{0}^{1} (x - x^2)^n dx$ .

Question

Llevo un tiempo luchando con esta pregunta, He tratado de hacerlo de la manera que $\int_{0}^{1} (1 - x^2)dx$ está hecho, pero no tuvo éxito.

Se agradece cualquier sugerencia.

Answer 1

Pistas. Puedes utilizar el teorema del binomio.

Answer 2

Si quieres usar un poco de conocimiento previo:

$I=\int_0^1 (x-x^2)^n dx=\int_0^1 x^n(1-x)^ndx = B(n+1,n+1)$

donde $B(x,y)$ es la función beta https://en.wikipedia.org/wiki/Beta_function .

Ahora usando la relación entre la función beta y gamma:

$B(n+1,n+1)=\frac{\Gamma(n+1)\Gamma(n+1)}{\Gamma(2n+2)}=\frac{n!n!}{(2n+1)!}= \frac{1}{2n+1}{{2n}\choose {n}}^{-1}$

Pues eso:

$$I=\frac{1}{2n+1}{{2n}\choose {n}}^{-1}$$

Usando el teorema del Binomio en su lugar:

$(x-x^2)^n=\sum_{k=0}^{n} {{n}\choose{k}}(-1)^kx^{2k}x^{n-k}$

E integrando cada término de la suma:

$$I=\sum_{k=0}^{n} {{n}\choose{k}}(-1)^k\frac{1}{(n+k+1)}$$

Tenemos que dos formas de expresar la misma cantidad. Por lo tanto, tenemos como ventaja una identidad no trivial (para mí):

$$\frac{1}{2n+1}{{2n}\choose {n}}^{-1}=\sum_{k=0}^{n} {{n}\choose{k}}(-1)^k\frac{1}{(n+k+1)}$$

Espero no haber estropeado los cálculos.. Tal vez alguien pueda demostrar la identidad de una manera más directa...

Answer 3

Si $Re(n)>-1$ y $Re(m)>-1$ entonces $$ \int^{1}_{0}x^n(1-x)^mdx=\frac{\Gamma(n+1)\Gamma(m+1)}{\Gamma(n+m+2)} $$

Answer 4

Un poco de conocimiento primero: $$B(x+1,y+1)=\int_0^1t^{x}(1-t)^{y}dt=\frac{\Gamma(x+1)\Gamma(y+1)}{\Gamma(x+y+2)}$$ ahora si miramos su integral: $$I=\int_0^1(x-x^2)^ndx=\int_0^1\left[x(1-x)\right]^ndx=\int_0^1x^n(1-x)^ndx=B(n+1,n+1)$$ $$I=\frac{\Gamma(n+1)^2}{\Gamma(2n+2)}$$ ahora si n es un número entero obtenemos: $$\Gamma(n+1)^2=(n!)^2$$ $$\Gamma(2n+2)=(2n+1)!$$ por lo que obtenemos: $$I=\frac{(n!)^2}{(2n+1)!}$$ Esto tenderá a cero muy rápidamente a medida que aumente n. Esto se puede ver representándolo como: $$I=\frac{1}{2n+1}{^{2n}C_n}^{-1}$$ por lo que siempre es menor que 1

Answer 5

Así que finalmente encontré y respuesta a cómo evaluar este entero de manera "elemental". Obviamente: $$\int_{0}^{1} (x - x^2)^n dx = \int_{0}^{1} x^n(1 - x)^n dx$$ Integrémoslo por derivadas parciales. $$\int_{0}^{1} x^n(1 - x)^n dx = |\frac{x^n+1}{n+1} (1 - x)^n|_{0}^{1} + \frac{n}{n+1}\int_{0}^{1} \frac{x^{n+1}}{n+1}(1 - x)^{n-1} dx$$ El primer término es $0$ , y de la segunda tomamos derivadas parciales de la misma manera que hicimos con la primera. Después de n número de iteraciones de derivadas parciales obtenemos: $${2n \choose n}^{-1}\int_{0}^{1}x^{2n}dx$$ Que es lo mismo que otras respuestas.