Chevalley Eilenberg las definiciones complejas?

Question

En Weibel es Una Introducción al Álgebra Homológica, el Chevalley-Eilenberg complejo de una Mentira álgebra $g$ se define como $\Lambda^*(g) \otimes Ug$ donde $Ug$ universal es la envolvente de álgebra de $g$. El diferencial de aquí tiene el grado -1.

Me han dicho que el Chevalley-Eilenberg complejo para $g$ es $C^*(g) = \text{Sym}(g^*[-1])$, la libre gradual álgebra conmutativa en el espacio vectorial dual de $g$ colocado en el grado 1. El soporte de la $[,]$ es un mapa de $\Lambda^2 g \to g$, por lo que su doble $d : = [,]* \colon g^* \to \Lambda^2 g^*$ es un mapa de $C^1(g) \to C^2(g)$. Desde $C^*(g)$ es libre, esto define una derivación, también llamado $d$, $C^*(g)$ a sí mismo. Esta derivación satisface $d^2 = 0$ porque, precisamente, $[,]$ satisface la identidad de Jacobi.

Finalmente, Kontsevich y Soibelman en la Deformación de la Teoría que me deja como un ejercicio para la construcción de la Chevalley-Eilenberg complejo en analogía a la forma en que el Hochschild complejo está construido para un álgebra asociativa mediante la consideración formal de las deformaciones.

El primero es un complejo de cadena, el segundo un cochain complejo, y ¿qué tiene que ver con deformaciones formales de $g$?

Answer 1

Sólo añadir a lo que Mariano ha escrito y centrarse únicamente en las deformaciones aspecto, el ejercicio en Kontsevich-Soibelman sugerencias en el "principio" de que las deformaciones de estructuras algebraicas, se rigen siempre por un cohomology de la teoría y que si usted no sabía que usted iba a descubrir, mediante el análisis de las condiciones de la definición de deformaciones infinitesimales, trivial deformaciones infinitesimales y obstáculos a la integración de deformaciones infinitesimales.

Creo que este es un ejercicio muy bueno y ayuda a motivar a las clásicas fórmulas para los diferenciales, al menos en el caso de cohomology con valores en el adjunto módulo.

Me gustaría añadir otra referencia a uno de Gerstenhaber et al, y que es el más antiguo de papel por Nijenhuis y Richardson las Deformaciones de la Mentira álgebra estructuras. En general hay una serie de artículos clásicos de Nijenhuis y Richardson sobre este tema. En particular, se define un graduado de la Mentira de álgebra de la estructura de la deformación compleja que la hace muy clara la naturaleza de la obstrucción.

Answer 2

El otro comentario que reveló que la mayoría de la historia. Permítanme añadir algunos puntos. En primer lugar, la Chevalley-Eilenberg complejo se define para el caso más general de $H^\bullet(g,M)$ --- cohomology con coeficientes en un módulo M. En el caso de que M=k el trivial módulo, usted consigue su segundo complejo. En el caso de $M=g$ el medico adjunto de la representación, se obtiene los complejos Kontsevich y Soibelman pedir a construir.

El primer complejo es una versión de complejo de Koszul $(A^!)^* \otimes A$ cuadráticas álgebras: uno puede pensar en la Koszul doble de la dg-álgebra conmutativa $\Lambda^\bullet( g^* )$ como la cuadrática lineal álgebra $U(\mathfrak{g})$. Es acíclico, y ofrece una resolución de la trivial módulo de libre $U(g)$-los módulos, así que usted puede utilizar para calcular Ext grupos $Ext_{U(g)}^\bullet(k,M)=H^\bullet(g,M)$.

Finalmente, otra forma de pensar de su segundo complejo es como sigue. Si $g$ es la Mentira de álgebra de Lie del grupo de $G$, se puede considerar el subcomplejo de de Rham complejo que consta de izquierda-invariante formas diferenciales. A la izquierda invariante en el formulario se define por su comportamiento en la unidad del grupo, 1-formas son dual para el espacio de la tangente y de la forma $ g^* $ , 2-formas de dar $\Lambda^2(g^*)$ etc., y usted obtendrá la CE complejo, donde el diferencial es lo que el de Rham diferencial induce. Si $G$ es compacta, es fácil demostrar que este complejo tiene la misma cohomology como el complejo de de Rham, por lo que calculamos el de Rham cohomology del grupo, en este caso.

Answer 3

El primer complejo, de Weibel, es un proyectiva de la resolución de la trivial $\mathfrak g$-módulo de $k$ $\mathcal U(\mathfrak g)$- módulo; estoy seguro de que Weibel lo dice!

Su segundo complejo se obtiene a partir de la primera mediante la aplicación de la functor $\hom_{\mathcal U(\mathfrak g)}(\mathord-,k)$ donde $k$ es la trivial $\mathfrak g$-módulo. Por lo tanto, se calcula el $\mathrm{Ext}_{\mathcal U(\mathfrak g)}(k,k)$, también conocido como $H^\bullet(\mathfrak g,k)$, la Mentira de álgebra cohomology de $\mathfrak g$ con trivial de los coeficientes.

La conexión con la deformación de la teoría se explica en detalle en Gerstenhaber, Murray; Schack, Samuel D. Algebraicas cohomology y la deformación de la teoría. La deformación de la teoría de álgebras y estructuras y aplicaciones (Il Ciocco, 1986), 11--264, la OTAN Adv. de la lesión. Inst. La Ser. C Matemáticas. Phys. Sci., 247, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1988.

En particular, ninguno de los dos complejos de 'calcula' deformaciones: usted necesita para tomar la resolución proyectiva $\mathcal U(\mathfrak g)\otimes \Lambda^\bullet \mathfrak g$, aplicar el functor $\hom_{\mathcal U(\mathfrak g)}(\mathord-,\mathfrak g)$ donde $\mathfrak g$ es el adjoint $\mathfrak g$-módulo, y calcular cohomology para obtener $H^\bullet(\mathfrak g,\mathfrak g)$, la Mentira de álgebra cohomology con coeficientes en el adjunto de la representación. A continuación, $H^2(\mathfrak g,\mathfrak g)$ clasifica deformaciones infinitesimales, $H^3(\mathfrak g,\mathfrak g)$ es el destino de los obstáculos a la ampliación parcial de las deformaciones, y así sucesivamente, exactamente a lo largo de la habitual de yoga formales deformación de la teoría a la Gerstenhaber.

Por cierto, el artículo original [Chevalley, Claude; Eilenberg, Samuel Cohomology teoría de la Mentira de grupos y álgebras de Lie. Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 63, (1948). 85--124.] sirve como un increíblemente legible introducción Mentir álgebra cohomology.