Distribución Bernoulli: problema de expectativas con variables aleatorias independientes

Question

Tenemos $X_1,...,X_n$ como $n$ variables aleatorias independientes bajo la distribución Bernoulli, es decir

$$P(X_i=1)=p$$ $$P(X_i=0)=1-p$$

donde, $p$ es un parámetro desconocido. La distribución $Y=\sum_1^n X_i$ es la distribución binomial tal que $Y\sim \mathrm{Binom}(n,p)$ . He descubierto que $\bar X$ es una estimación de $Y/n$ pero ahora pide encontrar $E(\bar X(1-\bar X))$ como $(n-1)p(1-p)/n$

Alguna idea de cómo calcular esto de la mejor manera, ampliaría o separaría a $\mathrm{E}(\bar X)\mathrm{E}(1-\bar X)$ ? ¿Implica esto manipular la fórmula binomial?

Answer 1

Sugerencia : $$ E[\bar{X}(1-\bar{X})]=E[\bar{X}]-E[\bar{X}^2]=\frac{1}{n}E[Y]-\frac{1}{n^2}E[Y^2] $$