¿Cómo puedo demostrar que $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{\ln(x^2+1)}{x} = 0$ sin la regla de L'Hôspital?

Question

Sin el uso de series de la regla de L'Hôspital, por lo tanto con límites comunes y algo de intuición.

Quería usar el límite común diciendo $\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1$ pero eso no funciona ya que el límite allí va a $0$ y no $1$ . ¿Es posible sin dificultar el cálculo de este límite sin L'Hôspitals o series?

Answer 1

Permítanme considerar sólo el $x\to+\infty$ ya que el otro caso se deduce trivialmente. Sustituyendo $x\mapsto e^x$ muestra $$\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}x=\lim_{x\to\infty}\frac x{e^x}=0$$ Ahora $$0\le\frac{\ln(x^2+1)}x\le\frac{\ln(2x^2)}x=\frac{\ln 2+2\ln x}x\to 0$$ Así que el límite es cero al apretar.

Answer 2

$f(x)=\frac{\log(1+x^2)}{x}$ es una función impar, por lo que sólo tenemos que calcular el límite para $x\to +\infty$ El otro es todo lo contrario. Lo tenemos: $$0\leq\frac{\log(1+x^2)}{x}\leq 2\frac{\log(x+1)}{x}\leq\frac{2}{\sqrt{x}}$$ desde $\log(x+1)\leq\sqrt{x}$ en $\mathbb{R}^+$ por lo que ambos límites son nulos al apretar.

Answer 3

$\lim_{x\to \pm \infty} \frac{\ln(x^2+1)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty}\ln\left((x^2+1)^{\large\frac{1}{x}}\right) = \ln \left(\lim_{x\to \pm \infty}(x^2+1)^{\large \frac{1}{x}}\right) = \ln \left(\lim_{x\to \pm \infty}(x^2*(1+1/x^2))^{\large \frac{1}{x}}\right) = \ln \left(\lim_{x\to \pm \infty}(x^{1/x})^2*(1+1/x^2)^{\large \frac{1}{x}}\right)$

$= \ln((1)^2 * (1+0)^0) = \ln1$

Answer 4

El límite en $\infty$ es lo mismo que $$ \lim_{t\to0^+}t\log(1+1/t^2)= \lim_{t\to0^+}t(\log(1+t^2)-\log(t^2)) $$ Ahora, $\lim_{t\to0^+}t\log(t^2)=\lim_{t\to0^+}2t\log t =0$ (esto debería ser ya conocido), por lo que se quiere mirar $$ \lim_{t\to0^+}t\log(1+t^2)=\lim_{t\to0^+}t^3\frac{\log(1+t^2)}{t^2} $$ Desde $$ \lim_{t\to0^+}\frac{\log(1+t^2)}{t^2}= \lim_{u\to0^+}\frac{\log(1+u)}{u}=1 $$ (un límite bien conocido), finalmente se obtiene $$ \lim_{x\to\infty}\frac{\log(1+x^2)}{x}=0 $$ Como la función es impar, también tiene $$ \lim_{x\to-\infty}\frac{\log(1+x^2)}{x}=0 $$

Answer 5

Reescribir su término en la forma $\ln\left(\left(1+x^2)^{1/x^2}\right)\right)^x$