puntos base de la multiplicidad $>1$

Question

Dejemos que $S$ sea una superficie proyectiva lisa (me interesa sobre todo el caso en que $S$ es un producto de curvas, por ejemplo $S=\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ pero probablemente esto no sea importante).

Consideremos una familia de curvas $X \subset S \times T$ parametrizado por una variedad $T$ de dimensión 2 (las fibras $X_t$ son distintos). Denotemos la proyección $X \to S\ $ como $p_S$ y $X \to T\ $ como $p_T$ . Definir un mapa $\tau: X \to \mathbb{P}TS$ que a cada punto $x \in X$ asocia la proyectivización del vector tangente de $X_{p_T(x)}$ en $p_S(x)$ .

Mi pregunta es: ¿cómo se puede demostrar que existe $s \in S$ tal que el mapa $\tau$ no es constante en $p^{-1}(s)$ ?

En otras palabras, ¿cómo se puede demostrar que hay un punto $s \in S$ tal que no todas las curvas que la atraviesan se tocan, sino que, por el contrario, sus espacios tangentes barren el espacio tangente de $S$ ¿a estas alturas?

actualización : Considera el mapa $\sigma: \mathbb{P}(TX/T) \to \mathbb{P}(TS)$ inducido por la proyección $p_S: X \to S$ . Si $\sigma^{-1}(v)$ eran finitos para algunos $v \in TS$ entonces la proyección de $v$ a $S$ sería la respuesta a la pregunta. Si la imagen del mapa $\sigma$ es de dimensión 3 entonces casi todas las fibras son de dimensión 0, ya que $\mathbb{P}(TX/T)$ es de dimensión 3. Tal vez se pueda demostrar que $\mathrm{dim}\ \mathrm{Im}\ \sigma=3$ ?

Answer 1

Supongo que publico una respuesta para cerrar el tema.

La afirmación es verdadera en la característica 0, pero no en la característica positiva. Los ejemplos de este último caso son fáciles de conseguir mediante un $S=\mathbb{A}^1 \times \mathbb{A}^1= \mathbb{A}^2$ , digamos, usando curvas con proyecciones en uno de los $\mathbb{A}^1$ factores por doquier ramificados.

En la característica 0 el argumento es el siguiente, trabajando sobre $\mathbb C$ (habría que utilizar las terminaciones formales de los anillos locales y las series de potencia formales, pero a nivel de ideas la prueba es la misma).

Así que supongamos que la afirmación no es cierta. Entonces se puede encontrar un punto $y$ y una vecindad $z$ tal que para cualquier $z \in U$ y cualquier curva $X_t$ incidente a $Q'$ la imagen de $T_x X_t$ en $T_y S$ depende sólo de $y$ . En otras palabras, todas las curvas $X_t$ son integrales con respecto a una distribución en $S$ . Pero por la unicidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias, puede haber como mucho una curva integral incidente en cada $z \in U$ lo que contradice esa dimensión de $T$ es 2.