Aplicando el teorema de Stokes para evaluar la integral doble para la semiesfera de radio 2 para $y \geq 0$ y orientado en el $+y$ dirección.

Question

Una pregunta en mis deberes pregunta:

Utilice el Teorema de Stokes para evaluar $\int\int_{S} (curl\vec{F}) * {n} \space dS$ donde S se define como el hemisferio $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ para $y \geq 0$ y orientado en la dirección y positiva.

También han dado el campo vectorial $\vec{F} = \space <ze^y, xcos(y), xzsin(y) > $

Así que empecé por dibujar la superficie, que es bastante sencilla. Voy a integrar sobre el plano xz, donde la curva está definida por $x^2 + z^2 = 4$ es decir, un círculo con un radio de $2$ . Según mi libro, la orientación de la curva es coherente con la de la superficie si se imagina a una persona caminando por la curva y 1) su cabeza apunta en la misma dirección que el vector normal a la superficie, y 2) la superficie está a su izquierda en cada punto de la curva.

He parametrizado la curva como sigue:

$\vec{r(t)} = \space <2cos(t), 0, 2sin(t)>$

Todo lo demás lo hice bien: introduje los valores de x, y y z en el campo vectorial y configuré correctamente la integral. Al final, obtuve una respuesta de $-4\pi$ pero esto estaba mal. Entonces intenté introducir $4\pi$ y al parecer esa era la respuesta correcta. Esto parece implicar que aunque hice todo lo demás bien, tuve que configurar los límites como $t$ pasando de $2\pi$ a $0$ en lugar de $0$ a $2\pi$ .

Pero esto no tiene sentido para mí, ya que eso obliga a la superficie a estar a la derecha de la persona imaginaria mientras camina por la curva.

¿Qué he hecho mal?

Answer 1

Su error proviene del hecho de que en el $xz$ avión: \begin{cases} x=2\sin t \\ z=2 \cos t \end{cases}

Tenga en cuenta que también puede calcular la integral con muy pocos cálculos como sigue: Por el teorema de la divergencia, la integral es igual a $$ \iiint_E \underbrace{div(curl\,\vec{F}\,)}_{=0}\; dV - \iint_{S_1}curl\,\vec{F}\,\cdot d\vec{S} $$ donde $S_1$ es la parte del plano $y=0$ que cierra el hemisferio, es decir, el disco $x^2+z^2\le 4$ que se puede parametrizar de la siguiente manera: \begin{cases} x=x\\ y=0 \quad \text{with}\quad (x,z)\in \{(r,\theta)\mid 0\le \theta \le 2\pi, 0\le r \le 2 \}\\ z=z \end{cases}

Así que la integral es igual a $$ -\iint_{D}\pmatrix{xz\cos 0 \\e^{0}-z\sin 0\\\cos 0 - z e^{0}}\cdot \pmatrix{0\\-1\\0}\; dA = \iint_{D} 1\; dA = 4 \pi $$

Answer 2

La curva que has elegido está parametrizada en el sentido de las agujas del reloj: cuando la persona camina, la superficie está a la derecha. Por eso al intercambiar los límites de integración obtienes el signo correcto: estás siguiendo la trayectoria en sentido inverso, es decir, con la orientación correcta. Creo que simplemente has utilizado la parametrización habitual del círculo cuando en el $xy$ avión, pero no funciona porque el $x$ eje está "invertido".

Este hará el trabajo:

$$\vec{r(t)} = \space <2cos(t), 0, -2sin(t)>$$