Integración $\int_{0}^{\infty}\frac{b^2 \sin(ax)}{x^2+b^2}\,dx$

Question

$$\int_{0}^{\infty}\frac{b^2 \sin(ax)}{x^2+b^2}\,dx$$

¿Es posible la integración de dicha función mediante la transformada inversa de Laplace o deben aplicarse otros enfoques?

Answer 1

En primer lugar podemos manejar un poco la integral, reescribiéndola como ( $ax = y$ )

$$ab^2\int_0^{+\infty} \frac{\sin(y)}{y^2 + c^2}\ \text{d}y$$

Donde $c = ab$ .

De nuevo, podemos transformarlo fácilmente como

$$ab^2\left(\frac{1}{c}\int_0^{+\infty} \frac{\sin(cs)}{1 + s^2}\ \text{d}s\right)$$

Y de nuevo ( $c = ab$ )

$$b\int_0^{+\infty} \frac{\sin(abs)}{1 + s^2}\ \text{d}s$$

Y depende de funciones especiales como la Coseno-Integral y la Hiperbólica-Seno-Integral. El resultado de la integral es este:

$$-\left(\text{Ci}\left(-i ab\right) + \text{Ci}\left(i ab\right)\right) \sinh \left(ab\right)+ 2 \text{Shi}\left(ab\right) \cosh \left(ab\right)$$

Donde

$Ci$ es la función especial CosIntegral;

$Shi$ es el Seno Interal Hiperbólico

Más información aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_integral#Cosine_integral y aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_integral#Hyperbolic_sine_integral

Consideremos que, como $(a, b)> 0 podemos utilizar la Función G de Meyer:

$$\frac{1}{4} \sqrt{\pi } a b G_{1,3}^{2,1}\left(\frac{a^2 b^2}{4}| \begin{array}{c} 0 \\ 0,0,-\frac{1}{2} \\ \end{array} \right)$$

Más información aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Meijer_G-function