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Si la fuerza depende tanto de la posición como del tiempo, ¿cómo encontrar la energía potencial?

Supongamos que la fuerza sobre una partícula depende tanto de la posición de la partícula como del tiempo.

En este caso, ¿cómo encontrar la energía potencial de la partícula?

En concreto, la fuerza es $$ F(r,t) = (k/r^2) \exp(-\alpha t);$$ donde $k$ y $\alpha$ son constantes. $r$ es la posición de la partícula desde el centro de fuerza y $t$ es el tiempo.

He leído que - La energía potencial no se puede definir para fuerzas no conservativas. La fuerza que depende del tiempo es fuerza no conservativa. ¿Es esto correcto?

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Stefano Puntos 763
  1. Un potencial generalizado dependiente de la velocidad $U=U({\bf r},{\bf v},t)$ satisface por definición $$ {\bf F}~=~\frac{d}{dt} \frac{\partial U}{\partial {\bf v}} - \frac{\partial U}{\partial {\bf r}}.\tag{1} $$

  2. Si no hay dependencia de la velocidad pero sí una posible dependencia temporal explícita, esto se simplifica a la conocida forma de gradiente $$ {\bf F}~=~ - \frac{\partial U}{\partial {\bf r}},\tag{2} $$ que puede aplicarse fácilmente al ejemplo de OP, esencialmente porque $t$ y ${\bf r}$ no se comunican entre sí en la ecuación (2).

  3. Si la definición de un fuerza conservadora permite explícitamente la dependencia del tiempo es, en última instancia, una cuestión de convención. Por un lado, la noción de energía potencial sigue existiendo en presencia de una dependencia temporal explícita. Obsérvese, en particular, que la definición podría implicar trabajo virtual a lo largo de caminos virtuales donde el tiempo $t$ es fijo/congelado. Por otra parte, probablemente ninguna persona en su sano juicio llamaría "conservador" a un sistema físico con dependencia temporal explícita. Véase también este post relacionado de Phys.SE.

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