Prueba de los rangos de iteración repetida de una función uno a uno de $X$ a un subconjunto son disjuntos

Question

Dejemos que $Y\subseteq X$ sean conjuntos no vacíos y $f:X\to Y$ sea una función unívoca. Denotemos $C_0=X\setminus Y$ y $C_n=f(C_{n-1})$ demostrar que todos los conjuntos son disjuntos por pares.

Esto se me ocurrió mientras miraba la solución de Michael Greinecker para La intuición detrás de Cantor-Bernstein-Schröder

Entiendo el sentido de su prueba, pero al principio afirma que los conjuntos $f^n(C)$ son disjuntos.

Ahora bien, si uno de los conjuntos es $C_0$ entonces es obvio, de lo contrario espero que se retroceda a la $C_0$ caso de alguna manera, pero no fue capaz de ver exactamente cómo. ¿Alguna prueba de ello?

Answer 1

Dejemos que $B=\{\langle m,n\rangle\in\Bbb N\times\Bbb N:m<n\text{ and }C_m=C_n\}$ . Si $B=\varnothing$ , hemos terminado, así que supongamos que $B\ne\varnothing$ . Sea $\langle m,n\rangle\in B$ sea tal que $m$ es mínimo. Si $m>0$ entonces $C_m=f[C_{m-1}]$ y $C_n=f[C_{n-1}]$ Así que $C_{m-1}=C_{n-1}$ , contradiciendo la elección de $m$ . Así, $m=0$ y ya se ha deshecho de ese caso. Por lo tanto, $B=\varnothing$ y los conjuntos $C_n$ son disjuntos entre sí.