¿Projectivizing siempre solucionar los problemas en el infinito? (O, ¿estoy cometiendo un error en alguna parte?)

Question

Esta pregunta está motivada por los siguientes deberes problema. Estoy tratando de calcular explícitamente la homeomorphism $f:S^2 \rightarrow \mathbb{CP}^1$ mediante la proyección estereográfica y considerando $\mathbb{CP}^1 = \mathbb{C}\cup {\infty}$. Yo te quiero demostrar que esta es una isometría, donde $S^2$ tiene el ángulo estándar métrico e $\mathbb{CP}^1$ tiene el Fubini-Estudio de la métrica dada por $d(\overline{x},\overline{y})=2\cos^{-1}|(x,y)|$ donde $x,y\in \mathbb{C}^2$ son vectores unitarios (y, presumiblemente, $(-,-)$ es el habitual Hermitian producto interior). Más tarde, voy a utilizar esto para calcular explícitamente la Mentira de grupo homomorphism $U(2)\rightarrow SO(3)$.

Mi proyección estereográfica es desde el polo norte, toma el ecuador, a la unidad de círculo, y pone el polo sur en el origen. Lo que he conseguido hasta ahora es que para $z\not= 1$, \begin{equation*} f(x,y,z)=\left( \frac{x}{1-z} , \frac{y}{1-z} \right) = \frac{x+iy}{1-z} = [x+iy : 1-z ], \end{ecuación*} donde estas son las coordenadas en $\mathbb{R}^2$, $\mathbb{C}$, y $\mathbb{C}\subseteq \mathbb{CP}^1$ respectivamente. Esto es problemático, porque filosóficamente, me gustaría esperar que yo debería ser capaz de definir esto para $(x,y,z)\not= (0,0,1)$ y luego terminar con una función proyectiva del espacio que se extiende de forma continua sobre el polo norte; que es una especie de punto de proyectiva del espacio, para hacer de $\infty$ en otro punto. Sin embargo, no es obvio que esto funciona, aunque por suerte \begin{equation*} \left| \frac{x+iy}{1-z} \right| = \sqrt{ \frac{|x+iy|^2}{(1-z)^2} } = \sqrt{ \frac{1-z^2}{(1-z)^2}}, \end{ecuación*} y el límite de esta expresión como $z\rightarrow 1^-$ es, de hecho,$\infty$.

Así que, justo lo suficiente. Esto termina extender a una función continua, después de todo. Pero: ¿Estoy equivocado en mi comprensión filosófica del espacio proyectivo?

(Para lo que vale, he intentado utilizar mis cálculos para comprobar que $f$ es una isometría, y parecía que no iba a funcionar. Así que tal vez yo realmente estoy haciendo algo mal.)

Answer 1

Una de las complicaciones en su situación, es que se están mezclando real y complejo de coordenadas.
Si estaban pensando en un mapa a partir de una curva compleja a $\mathbb{CP}^1$, el tipo de cálculo que usted está tratando de hacer que el trabajo fuera más directa.

Debido a que usted está buscando en un mapa real de la analítica de los colectores, no complejo analítica queridos (concretamente, se trabaja con las variables $x,y,z$, que son las coordenadas reales), el punto de vista que se han adoptado es tal vez no es tan natural. Sin embargo, puede ser hecho para el trabajo, de la siguiente manera: $$[x+iy:1-z] \text{ (que es donde has finalizado) } = [x^2 + y^2: (1-z)(x - i y)]$$ $$ = [ 1 - z^2: (1-z)(x-iy)] = [1+z:(x-iy)].$$ Esta reescritura de su mapa a $\mathbb{CP}^1$ ahora bien definida en una vecindad de a $(0,0,1)$ sobre la esfera. (El hecho de que me introdujo un complejo conjugado de $x + i y$ a facilitar el cálculo está relacionado con el real vs complejo problema mencionado anteriormente. Este es también, esencialmente, el mismo cálculo se hizo para comprobar que el mapa tiende a $\infty$$z \to 1$, acaba de expresar en coordenadas homogéneas.)

Answer 2

"Estoy equivocado en mi comprensión filosófica de la proyectiva del espacio?"
Creo que la descripción es incompleta en algunos aspectos.
E. g. tu comentario de "resolver las singularidades mediante la sustitución de un punto con una copia de la proyectiva del espacio" no tiene mucho sentido para mí.

Edit: creo que no entendí la pregunta correctamente. Pero yo no podía pedir cualquier aclaración en los comentarios a la pregunta como hacen otros, debido a la falta de reputación!

Puede ayudar en su comprensión de "espacios proyectivos" para darse cuenta de que su resolvement de $\infty$ singularidades utiliza homogene coordenadas, por ejemplo, en $\mathbb{CP}^1 = \mathbb{C}\cup {\infty}$ utiliza coordiantes $\rho\cdot (z, 1)$ para los elementos en $\mathbb{C}$$\rho (1, 0)$${\infty}$. A continuación, la asignación debe involucrar tanto a las coordenadas y la cuenta para el libre factor de $\rho \neq 0$.