¿Qué operaciones tiene un subconjunto de un espacio vectorial?

Question

Dejemos que $(V, K, +, *)$ sea un espacio vectorial sobre un campo $K$ . Mi libro define un subespacio de $V$ como el subconjunto $W \subset V$ que satisfaga las siguientes condiciones:

1. Si $v, w \in W$ entonces $v+w \in W$ .
2. Si $c \in K$ y $v \in W$ entonces $cv \in W$ .
3. El elemento $O \in V$ también es un elemento de $W$ .

En otras palabras, queremos la imagen por la operación $+$ de $V$ de dos elementos de $W$ para estar en $W$ y la imagen mediante la operación $*$ de $V$ de un escalar y un elemento de $W$ para estar en $W$ .

Ahora, mostrando $W$ es un espacio vectorial con operaciones $+$ y $*$ de $V$ es sencillo; por ejemplo, tratemos de demostrar que, dado $u$ , $v$ y $w$ de $W$ tenemos $(u+v)+w = u+(v+w)$ : ya que $W \subset V$ , todos $u$ , $v$ y $w$ pertenecen a $V$ . $+$ del espacio vectorial original satisface esta propiedad. $\square$

Me pregunto si realmente podemos decir que $W$ es un espacio vectorial con las operaciones $+$ y $*$ de $V$ . O mejor, son las operaciones $+$ y $*$ del subespacio en realidad las mismas operaciones $+$ y $*$ del espacio vectorial original $V$ ?

Answer 1

Sí, las operaciones $+$ y $∗$ del subespacio $W$ las mismas operaciones $+$ y $∗$ del espacio vectorial original $V$ por definición del subespacio.

Answer 2

Sí, esta es la idea principal: todas las operaciones y propiedades estándar del espacio vectorial mayor se conservan. Sólo debemos demostrar que un subespacio es cerrado bajo combinaciones lineales.