En $z=0$ la función $f(z)=\exp({z\over 1-\cos z})$ tiene

Question

En $z=0$ la función $f(z)=\exp({z\over 1-\cos z})$ tiene

$1$ . Una singualridad extraíble

$2$ . Un poste

$3$ . Una singularidad esencial

$4$ . Serie Laurent en torno a $z=0$ tiene un poder positivo y negativo infinito de $z$

Ya veo $\lim_{z\to\infty}f(z)=\infty\cup -\infty$ si se acerca a $0$ de la izquierda y la derecha de la línea real, por lo que $f$ no puede ser acotado cerca de $0$ por lo que tiene $f$ ¿singularidad esencial?

Answer 1

¿Cómo sabes que no es un poste? Para los pequeños $z$ , $\frac{z}{1-\cos z}\approx \frac{z}{z^2}=\frac{1}{z}$ de modo que, para un número reducido de $z$ su función es $\displaystyle e^{\frac{1}{z}}=\Sigma \frac{1}{n!z^n}$ y esto claramente va al infinito más rápido que cualquier polinomio va a $0$ es decir, no hay $m$ tal que $\,\,\displaystyle z^m\Sigma \frac{1}{n!z^n}$ está acotado cerca de $0$ Por lo tanto, es una singularidad esencial.

Answer 2

$\frac{z}{1-cos z}=\frac{z}{(z^2/2!)-(z^4/4!)+...}=\frac{1}{(z/2)+O(z^3)}=\frac{2}{z} [\frac{1}{1+O(z^2)}]=\frac{2}{z} ([{1+O(z^2)})^{-1} =\frac{2}{z} [{1-O(z^2)}]=\frac{2}{z}-O(z)$ Así, $$exp [\frac{z}{1-cos z}]=exp[\frac{2}{z}-O(z)]=1+\frac{\frac{2}{z}-O(z)}{1!}+\frac{(\frac{2}{z}-O(z))^2}{2!}+... $$ Obviamente, la anterior expansión en serie de Laurent de f(z) es válida alrededor de z=0, es decir, para $0<\vert{z}\vert<\epsilon$ tiene infinitas potencias negativas (y positivas) de z. En consecuencia, z=0 es una singularidad esencial de f(z).
Las opciones correctas son (3) y (4).