Pregunta
Dejemos que $a > 0$ et $b > 0$ sean constantes. Supongamos que las parábolas $$C_1 : y^2 = 4a(a - x)\ \mathrm {and}\ C_2 : y^2 = 4b(b + x)$$ se cruzan en un punto $P$ . Demostrar que la línea tangente a $C_1$ en $P$ y la línea tangente a $C_2$ en $P$ son perpendiculares.
Mi trabajo
Desde $C_1$ ,
$$2y\frac {dy} {dx} = -4a$$
$$\implies \frac {dy} {dx} = -\frac {2a} {y}$$
Desde $C_2$ ,
$$2y\frac {dy} {dx} = 4b$$
$$\implies \frac {dy} {dx} = \frac {2b} {y}$$
Entonces, por geometría elemental, sé que para que dos líneas sean perpendiculares entre sí, el producto de sus gradientes debe ser $-1$ .
Así, trabajando hacia atrás,
$$(-\frac {2a} {y})(\frac {2b} {y}) = -1$$
$$\implies y^2 = 4ab$$
por lo que el problema se reduce a demostrar que $$y^2 = 4ab$$
y hemos terminado.
Sin embargo, aquí es donde estoy atascado. ¿Cómo puedo mostrar la relación anterior, dadas sólo las ecuaciones de las dos curvas?
Cualquier sugerencia de cómo puedo proceder o incluso alternativas para resolver este problema será agradable :)
