Encuentre la probabilidad del resultado que tiene más posibilidades de producirse.

Question

Un dado sesgado tiene números $1, 2, 3, 4, 5, 6$ . La probabilidad de obtener uno de los números es mayor que ${1\over 6}$ mientras que la probabilidad de obtener un número opuesto a él es menor que ${1\over 6}$ . Los cuatro números restantes tienen cada uno una probabilidad de ${1\over 6}$ de ser obtenido. Dado que dos caras opuestas cualesquiera suman $7$ . Cuando se lanzan dos dados de este tipo, la probabilidad de obtener una suma $7$ es ${47\over 288}$ . Si el número que tiene la mayor probabilidad de ser obtenido tiene la probabilidad ${p\over q}$ para ( $p, q$ ) = $1$ , encontrar $p + q$ .

Bueno, sé que $P(E)$ = ${No.\;of\;Favourable\;Outcomes\over Total\;Outcomes}$ pero estoy confundido en cuanto a cómo encontrar la Probabilidad en este caso. Porque la fórmula que escribí, supongo, es aplicable sólo cuando todos los resultados posibles tienen las mismas posibilidades de ocurrir, lo que no ocurre en este caso.

Answer 1

Puede obtener la suma $7$ con $1+6,2+5,3+4,4+3,5+2,6+1$ . Entre estas sumas, dos están sesgadas y la otra $4$ tienen probabilidad $\frac{1}{6}\times\frac{1}{6}$ . Los otros dos pares tienen caras con probabilidades $\frac16+x$ et $\frac16-x$ para algún positivo $x$ .

Por lo tanto, la probabilidad de obtener la suma $7$ es

$$\frac{4}{36}+2(\frac{1}{6}+x)(\frac{1}{6}-x)=\frac{47}{288}$$

$$\frac{1}{36}-x^2=\frac12(\frac{47}{288}-\frac{4}{36})=\frac{5}{192}$$

$$x^2=\frac{1}{36}-\frac{5}{192}=\frac{1}{576}=(\frac{1}{24})^2$$

Por lo tanto, la mayor probabilidad es $\frac16+\frac1{24}=\frac{5}{24}$ et $p+q=5+24=29$ .

Answer 2

Dejemos que $P(A)$ sea el caso de obtener el número "A" en los dados

$2P(1)P(6) + 2P(2)P(5) + 2P(3)P(4) = \dfrac{47}{288}$

Dejemos que $P$ (número sesgado) $= x$

Por lo tanto,

$2x(\frac{1}{3} - x) + \dfrac{1}{18} + \dfrac{1}{18} = \dfrac{47}{288}$