Propiedad de punto totalmente no fijo

Question

Editar: De acuerdo con el comentario de Pietro Majer, reviso la pregunta

¿Existe un espacio topológico de Hausdorff compacto no unitario $X$ para el que se cumple la siguiente propiedad?:

"Los mapas constantes y la identidad son los únicos mapas con punto fijo"

Answer 1

El papel http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm60/fm60123.pdf contiene un ejemplo de un continuo compacto con la propiedad de que los únicos mapeos continuos de $X$ a $X$ son los mapeos de identidad y los mapeos constantes. Véase también la respuesta Espacios de Hausdorff fuertemente rígidos .

Sin embargo, cualquier espacio compacto de Hausdorff $X$ donde los únicos mapas $f:X\rightarrow X$ con puntos fijos son la constante y las funciones de identidad deben ser totalmente desconectadas de la trayectoria, así como conectadas: Si $X$ no está totalmente desconectado de la trayectoria, entonces hay una trayectoria $f:[0,1]\rightarrow X$ con $f(0)\neq f(1)$ . Sin embargo, en este caso, existe un homeomorfismo $g:C\rightarrow I$ donde $C\subseteq X$ es un subespacio cerrado. Por el teorema de extensión de Tietze, hay algún $h:X\rightarrow I$ que se extiende $g$ pero $g^{-1}\circ h:X\rightarrow X$ es un mapeo con $g^{-1}\circ h[X]=C$ Así que $g^{-1}\circ h$ no es un mapeo constante ni el mapeo de identidad, pero claramente $g^{-1}\circ h$ es la identidad en $C$ Así que $g^{-1}\circ h $ tiene muchos puntos fijos.