Grupo de Nudos y el Desenlace

Question

Hola estoy atascado en tratar de demostrar que dado un nudo $K$ tal que el grupo de nudos $\pi_1(K)=\mathbb Z$ entonces $K\simeq U$ .

He intentado utilizar el hecho de que la cubierta cíclica infinita es la cubierta universal pero no sé si es la forma correcta.

Se agradecerá cualquier sugerencia.

Answer 1

Nota: Estoy asumiendo que el OP se refiere al grupo de nudos habitual $\pi_1(S^3\setminus K)$ . De todos modos, esa es la única forma en que su segunda frase tiene sentido.

Hay una curva en el toro de la frontera que es nula-homotópica en el complemento, ya que la inclusión de la frontera en el complemento es $\mathbb Z\oplus\mathbb Z\to \mathbb Z$ en $\pi_1$ . Esto significa que el toro de la frontera no es incompresible. Por lo tanto, existe una curva cerrada simple en el toro que limita un disco en el complemento. Además, la única curva de este tipo que es nula-homóloga es la longitud. Por lo tanto, la longitud es nulo-homóloga y por el teorema del disco limita un disco incrustado. Por lo tanto, el nudo es el no-nudo.

Answer 2

Necesitas algunas herramientas de la topología de los 3 manificios --- el teorema del bucle y el teorema generalizado de Schönflies --- para demostrar esto (asumiendo que te refieres a $\pi_1(S^3 \setminus K)$ .

Considere el colector $M$ obtenido de $S^3$ eliminando una vecindad de toros sólidos abiertos de $K$ Así que $\partial M$ es homeomorfo a $T^2$ . El homomorfismo inducido de inclusión $$\mathbb{Z}^2 \approx \pi_1(T^2) \mapsto \pi_1(M) \approx \mathbb{Z} $$ no es inyectiva.

La aplicación de la teorema del bucle existe un 2-disco embebido de forma dócil $D \subset M$ tal que $D \cap \partial M = \partial D$ y ese círculo es no trivial en el toroide $\partial M$ . Se deduce que el límite de una vecindad regular de $D \cup \partial M$ es una 2-esfera embebida de forma dócil $S^2 \hookrightarrow M \subset S^3$ .

La aplicación de la teorema de Schönflies generalizado que la 2-esfera es estándar, después de componer con un auto-homeomorfo de $S^3$ podemos suponer que se trata de el la incrustación habitual de $S^2$ en $S^3$ .

De ello se deduce que $K$ es el desanudado.

Answer 3

Para cualquier nudo $K$ siempre tienes $\pi_1(K)=\Bbb Z$ porque cualquier nudo es homeomorfo al círculo. El mayor problema viene cuando se considera el complemento del nudo y en función de dónde está incrustado.