¿Por qué la inducción matemática sólo puede usarse con números naturales?

Question

Así que, he estado aprendiendo Principio de la inducción matemática como parte de mi programa de estudios, y hasta ahora, me ha parecido muy divertido. Sin embargo, hay una cosa que no entiendo (y ninguno de mis profesores podría responder a esto):

¿Por qué es necesario usar sólo números naturales?

Algo como los números reales o los números complejos es comprensible, ya que pueden tener números infinitos entre dos "números enteros" cualesquiera, pero ¿qué pasa con algo como los números enteros o los números enteros? Incluso si se toma $P(0)$ como el paso básico es imposible, ¿por qué no algo como $P(-1)$ y luego tomar $P(K - 1)$ como el paso inductivo? No veo ninguna razón por la que no sea posible.

Answer 1

Es posible, en efecto, que el principio de inducción sea mucho más general de lo que se piensa. Hay muchos teoremas de inducción que pueden ser probados por el más intuitivo de ellos si se entiende la idea principal que es bien fundada, o bien ordenada. (pero tal vez es demasiado pronto para que usted se beneficie del esfuerzo que tendría que hacer para entender estas nociones)

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El teorema de inducción habitual para $ \mathbb {Z}$ se puede probar usando la inducción regular. Se puede afirmar que:

Si una propiedad $P(x)$ satisface $P(n)$ para algunos enteros $n$ y $ \forall k \in \mathbb {Z}(P(k) \longrightarrow P(k-1) $ y $P(k+1))$ entonces es cierto para cada número entero.

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Si no sabes cómo probar el PMI usando el hecho de que cada subconjunto no vacío de $ \mathbb {N}$ tiene un elemento mínimo, le sugiero que busque una prueba. Recuerdo que estaba muy feliz de descubrir esto en el momento en que pensé que el PMI era sólo una especie de creencia común entre los matemáticos; y sigue siendo un teorema muy interesante para mí.

Answer 2

No veo ninguna razón por la que no sea posible.

Es es posible simplemente es menos frecuente. Ha habido un número de mensajes (por ejemplo, inducción en números reales ) que tratan de la inducción como algo no relacionado con los números naturales. También se han publicado bastantes artículos, algunos de código abierto y otros publicados profesionalmente (no mutuamente excluyentes), sobre el tema. Recuerdo uno que aparece el Revista de Matemáticas de la Universidad no hace tanto tiempo.

En cuanto a su propia pregunta sobre algo como $P(-1)$ o números enteros en general, había una pregunta hace un tiempo preguntó sobre el uso de un número negativo como caso base. La respuesta corta es sí puedes usar un número negativo en tu(s) caso(s) base. Es un poco atípico. Para cualquiera que no esté interesado en ver el responder a en el otro hilo, a continuación se muestra un ejemplo de la prueba de una reclamación para todos $n \geq -5$ por inducción.

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Ejemplo: Suponga que tiene la declaración $S(n)$ donde $$ S(n) : n+5 \geq 0, $$ y usted afirma que esto es cierto para todos $n \geq -5$ donde $n \in\mathbb {Z}$ . Su caso base sería $n=-5$ y esto es cierto desde $-5+5=0 \geq 0$ . Como se explicó anteriormente, cuando reformulamos la propuesta, el caso base sería $T(1) = 0 = S(-5)=S(k)$ . El siguiente esquema puede ser más fácil de entender: $$ \color {blue}{T(n)} \equiv S(n+k-1) : (n+k-1)+5 \geq 0 \equiv n+k+4 \geq 0 \equiv\underbrace { \color {blue}{n-1}}_{k\,=\,-5} \color {blue}{ \geq 0} \\\Downarrow\\ [1em] \color {blue}{T(n): n-1 \geq 0}. $$ Como pueden ver arriba, probando $S(n)$ es cierto para todos $n \geq -5$ es exactamente lo mismo que probar $T(n)$ es cierto para todos $n \geq 1$ .

Answer 3

Aquí hay un ejercicio de uso de la inducción, para usted. Demuestra que, para un número entero positivo $n$ y un número primo (positivo) $p,$ el exponente $E$ de $p$ en la factorización principal de $n!$ es el valor de Legendre, $$ E = \left\lfloor \frac {n}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac {n}{p^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac {n}{p^3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac {n}{p^4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac {n}{p^5} \right\rfloor + \cdots $$ donde eventualmente $p^k > n,$ así que $n/p^k < 1,$ así que $ \left\lfloor \frac {n}{p^k} \right\rfloor = 0.$ Para enfatizar, $$ p^E | n!, $$ pero $p^{1+E}$ no divide $n!$ Mirando la fórmula, si $p > n,$ entonces $E=0$ y $p$ no divide $n!$ en absoluto, que es lo que queremos que ocurra.

Realmente hay una prueba de inducción. Lo publiqué como una respuesta en algún lugar aquí en MSE. Probablemente podría encontrarla con el tiempo. EDITORIAL: mi respuesta a la pregunta 141196