¿Cómo se obtiene la primera derivada?

Question

Mi pregunta es encontrar la primera derivada utilizando la regla del producto y/o del cociente

$$f(x) = {(x^2+1)(x^2-2) \over 3x+2}.$$

La solución al problema es: $$f'(x) = {[(2x)(x^2-2)+(x^2+1)(2x)](3x+2)-(3)[(x^2+1)(x^2-2)] \over (3x+2)^2}.$$

Tengo problemas para obtener la misma solución ¿alguien podría ayudarme mostrando la forma correcta de obtener la primera derivada de esta pregunta

Answer 1

Cuando tienes expresiones que sólo contienen productos, cocientes y potencias, la diferenciación logarítmica te facilita la vida.

Para su caso $$f = {(x^2+1)(x^2-2) \over 3x+2}\implies \log(f)=\log(x^2+1)+\log(x^2-2)-\log(3x+2)$$ Diferenciar ambos lados $$\frac{f'}f=\frac{2x}{x^2+1}+\frac{2x}{x^2-2}-\frac 3{3x+2}=\frac{9 x^4+8 x^3-3 x^2-4 x+6 }{(x^2+1 )(x^2-2 ) (3x+2 ) }$$ Ahora $$f'=f \times \frac{f'}f={(x^2+1)(x^2-2) \over 3x+2}\times \frac{9 x^4+8 x^3-3 x^2-4 x+6 }{(x^2+1 )(x^2-2 ) (3x+2 ) }$$ Ahora, simplifica.

Answer 2

HINT

Apliquemos lo siguiente

$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)\cdot g(x)-g'(x)f(x)}{g^2(x)}$$

con $$f(x)=p(x)\cdot q(x) \implies f'(x)=p'(x)\cdot q(x)+p(x)\cdot q'(x)$$

Answer 3

Para aquellos a los que no les gusta diferenciar fracciones, lo siguiente utiliza sólo la regla del producto una vez:

$$ \begin{align} (3x+2)f(x) = x^4 -x^2-2 \;\;&\implies\;\; 3f(x)+(3x+2)f'(x)=4x^3-2x \\[5px]&\implies\;\;f'(x) = \dfrac{1}{3x+2}\left(4x^3-2x-3f(x)\right) \;= \;\ldots \end{align} $$

Answer 4

Dejemos que $g(x) = x^2 + 1$ , $h(x) = x^2 -2$ et $j(x) = \frac{1}{3x+2}$ . Entonces $f(x) = g(x)h(x)j(x)$ y la regla del producto te lo dice: $$f'(x) = g'(x)h(x)j(x) + g(x)h'(x)j(x) + g(x)h(x)j'(x)$$ Dado que usted sabe que $g'(x) = 2x$ , $h'(x) = 2x$ y $j'(x) = -\frac{3}{(3x+2)^2}$ obtenemos: $$f'(x) = \frac{2x(x^2-2)}{3x+2} + \frac{2x(x^2+1)}{3x+2} - \frac{3(x^2+1)(x^2-2)}{(3x+2)^2}$$