¿Es el límite de un determinado tipo de $p$ -¿las series adicas son necesariamente irracionales?

Question

Dejemos que $p$ sea un primo y $b \in \mathbb Q$ algún número racional de $p$ -Valor de la adicción $\lvert b \rvert_p \le 1$ . Además, dejemos que $(a_0, a_1, a_2, a_3,\dotsc)$ sea una secuencia estrictamente creciente de números naturales. Estoy estudiando series de la forma

$$S(b, (a_n)_n) := bp^{a_1} + b^2p^{a_2}+b^3p^{a_3}+\dotsc$$

que bajo las hipótesis anteriores convergen en $\mathbb Q_p$ .

Es fácil ver que este límite es racional (es decir $\in \mathbb Q$ ) cuando la serie es "periódica" en el sentido de que hay $j \le k \in \mathbb N$ tal que $a_{i+mj} = a_i + mk$ para todos $m \in \mathbb N_0$ y $0 \le i \le j-1$ es decir $$(a_0,a_1,a_2,\dotsc ,a_0+k, a_1+k, \dotsc ,a_0+2k, a_1+ 2k ,\dotsc).$$

También es racional si la secuencia es finalmente periódico: es decir, periódico después de un número finito de términos.

Por analogía con $p$ -adica en general creo que lo contrario también debe ser cierto -- que el límite debe ser irracional cuando la secuencia $(a_n)_n$ es no eventualmente periódica en el sentido anterior. ¿Estoy en lo cierto, y si es así cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Cada $p$ -El número adádico se puede escribir como un cociente de dos $p$ -enteros, por lo que en ese sentido, cada $p$ -El número de un ádico es "racional". De hecho, para $p > 2$ , $e^p \in \Bbb{Z}_p$ aunque $e^p$ no es un número racional en $\Bbb{R}$ .

Editar: @TorstenSchoeneberg en los comentarios trató de decirme que " $e^p$ " (según la definición de la serie convergente habitual $\sum_{n \geq 0} \frac{p^n}{n!}$ ) no es un número que exista en ambos $\Bbb{R}$ y $\Bbb{Q}_p$ porque las métricas son diferentes.
Pero la misma lógica cita hace que no tenga sentido su afirmación (y la de otras personas) de que el PO está "obviamente" buscando respuestas en " $\Bbb{Q} \cap \Bbb{Q}_p$ ", ya que el tipo de serie infinita que OP está discutiendo, $$b p^{a_1} + b^2 p^{a_2} + b^3 p^{a_3} + ...$$ con $0 < a_1 < a_2 < a_3 < ...,$ ni siquiera converge en $\Bbb{Q}$ . Los comentaristas que piensan que el OP quiere una respuesta en " $\Bbb{Q} \cap \Bbb{Q}_p$ "(sea lo que sea) están equivocados, y no han sabido apreciar esta sutil pero esencial distinción.