Dejemos que $H$ sea la función de Heaviside. Si $f(x_1,x_2)=H(x_2)$ en $\mathbb{R}^2$ entonces $WF(f)=N^*\{x_2=0\}$ . Del mismo modo, si $g(x_1,x_2)=H(x_1^2-x_2)$ Creo que el conjunto de frentes de onda de $g$ es el haz conormal a la curva límite $x_2=x_1^2$ . Pero, ¿cuál es el conjunto de frentes de onda de $fg$ ? En general, ¿cómo puedo determinar el frente de onda de una distribución de productos $uv$ (suponiendo que esté bien definido) dado $WF(u)$ y $WF(v)$ ?
Respuesta
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En general sólo se puede decir que $$ WF(uv) \subseteq \Bigg[ WF(u) \cup WF(v) \cup \Big[WF(u)+WF(v)\Big]\Bigg] $$ donde el conjunto $$ WF(u) + WF(v) = \left\lbrace (x,\xi +\eta)| (x,\xi)\in WF(u), (x,\eta)\in WF(v) \right\rbrace $$ (nótese que un criterio suficiente para que el producto esté bien definido es precisamente cuando el conjunto anterior no contiene puntos de la forma $(x,0)$ ).
Véase, por ejemplo, el capítulo 11 de Friedlander y Joshi Introducción a la teoría de las distribuciones .
Pero es evidente que el $\subseteq$ no es siempre una igualdad: basta con tomar $u,v$ dos distribuciones compactas con soportes distintos. Obsérvese que dado $WF(u)$ y $WF(v)$ sólo conoce el singular apoyo de $u$ y $v$ y no sus soportes reales.
