Número de pares $(m,n)$ de enteros positivos tal que existe un número real $x$ satisfaciendo $ \sin(mx) + \sin(nx) = 2.$

Question

Encuentre el número de pares $(m,n)$ de enteros positivos con $1\le m<n\le 30$ tal que existe un número real $x$ satisfaciendo $ \sin(mx) + \sin(nx) = 2.$

Este AIME 2021 P7

La gama de $\sin x=[-1,1].$ Así que $\sin(mx)=1=\sin(nx).$ Así que $mx=90+360k= ,nx=90+360l$ Así que $x(m-n)=360k-360l=360(k-l).$ Tenemos $(m-n)\le 30$

Answer 1

Una pista: Asumiendo que los ángulos se miden en grados (nótese que el mismo resultado ocurre incluso si están en radianes), entonces usando su $2$ ecuaciones para $mx$ y $nx$ multiplique el primero por $\frac{n}{90}$ y restar el segundo multiplicado por $\frac{n}{90}$ para conseguir

$$0 = n - m + 4(kn - ml) \iff n - m = 4(ml - kn) \tag{1}\label{eq1A}$$

Porque $n - m$ y $ml - kn$ son ambos enteros, $n - m$ debe ser un múltiplo integral de $4$ .

Actualización: Tenga en cuenta que esto es necesario, pero es no siempre es suficiente. Por ejemplo, con $n = 12$ y $m = 4$ entonces $n - m = 8 = 2^3$ , mientras que $4(ml - kn) = 4(4)(l - 3k) = 2^4(l - 3k)$ . Dado que el lado derecho en \eqref {eq1A} tiene más factores de $2$ que el lado izquierdo, muestra que la ecuación no es cierta en este caso.