Resolver $ UU_{xy}-U_xU_y=0$ Sé cómo resolver $ UU_{xy}+U_xU_y=0$ Pero no puedo encontrar ningún truco para hacer con los operadores diferenciales. Esto es un ejercicio y no estoy interesado en ese pde específico pero quiero saber cómo manejar los operadores diferenciales y cuando puedo "integrar parcialmente" cosas como en el segundo $$ UU_{xy}+U_xU_y=0$$ he dicho que esto es $$ \frac {\partial U U_x}{\partial y}=0$$ Así que entonces i parcial integrado por $y$ así que $UU_x=g(x)$ que es $$\frac{U \partial U}{\partial x}=g(x)$$ luego se integró de nuevo por lo que obtuve $\frac{U^2} {2} =G(x)$ Hizo lo mismo integrando primero con $x$ así que tengo $U=\pm\sqrt{G(x)+F(y)}$ No encuentro la forma de hacer lo mismo con el otro.
Respuesta
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En este caso $\dfrac{\partial}{\partial x} \dfrac{U_y}{U} = 0$ Así que $U_y = g(y) U$ para alguna función $g(y)$ . Ahora $u'(y) = g(y) u(y)$ es una EDO lineal homogénea cuyas soluciones son de la forma $u(y) = c G(y)$ donde $G(y)$ es una solución. Así, $U(x,y) = F(x) G(y)$ para algunas funciones $F$ , $G$ . Por otro lado, para cualquier diferenciable $F$ y $G$ , $U(x,y) = F(x) G(y)$ satisface su PDE.
