Región de convergencia de $\int_0^{\infty} x^s e^{-\frac{|\log(x)|^k}{2}}dx$ donde $s \in \mathbb{C}$ .

Question

Me interesa encontrar la región de convergencia de la integral \begin{align} \int_0^{\infty} x^s e^{-\frac{|\log(x)|^k}{2}}dx, \end{align} donde $s \in \mathbb{C}$ y $k>0$ . Me gustaría solventar esto para todos $k$ pero estoy especialmente interesado en $0<k<1$ .

¿Cómo abordamos este tipo de problemas?

Nota para $k=1$ esta integral ha sido resuelta aquí . Sin embargo, este enfoque no es generalizable.

Answer 1

Ejecución de la sustitución $x=e^u$ rinde

$$\begin{align} \int_0^\infty x^s e^{-\frac12 |\log(x)|^k}\,dx&=\int_{-\infty}^\infty e^{(s+1)u-\frac12 |u|^k}\,du\\\\ &=\int_{-\infty}^0 e^{(s+1)u-\frac12 (-u)^k}\,du+\int_{0}^\infty e^{(s+1)u-\frac12 u^k}\,du\\\\ &=\int_0^\infty e^{-\frac12 u^k-(s+1)u}\,du+\int_{0}^\infty e^{(s+1)u-\frac12 u^k}\,du\tag 1 \end{align}$$

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Para cada fijo $k\in (0,1)$ la primera integral del lado derecho de $(1)$ converge cuando $\text{Re}(s)\ge -1$ . Para ver esto, observamos que cuando $\text{Re}(s)\ge -1$ , $\left(\text{Re}(s)+1\right)u+\frac12u^k\ge \frac12 u^k$ y $\int_0^\infty e^{-\frac12 u^k}\,du$ converge.

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Para cada fijo $k\in (0,1)$ la primera integral del lado derecho de $(1)$ diverge cuando $\text{Re}(s)< -1$ . Para ver esto, observamos que cuando $\text{Re}(s)< -1$ , $\left(\text{Re}(s)+1\right)u+\frac12u^k< -\frac12 u^k$ para $u>u_0=\left(\frac{1}{|\text{Re}(s)+1|}\right)^{1/(1-k)}$ . Y la integral $\int_{2u_0}^\infty e^{\frac12 u^k}\,du$ diverge.

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Para cada fijo $k\in (0,1)$ la segunda integral del lado derecho de $(1)$ converge cuando $\text{Re}(s)\le -1$ . Para ver esto, observamos que cuando $\text{Re}(s)\le -1$ , $\left(\text{Re}(s)+1\right)u-\frac12u^k\le -\frac12 u^k$ y $\int_0^\infty e^{-\frac12 u^k}\,du$ converge.

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Para cada fijo $k\in (0,1)$ la segunda integral del lado derecho de $(1)$ diverge cuando $\text{Re}(s)>-1$ . Para ver esto, observamos que cuando $\text{Re}(s)>-1$ , $(\text{Re}(s)+1)u-\frac12 u^k>\frac12 u^k$ para $u>u_1=\left(\frac{1}{\text{Re}(s)+1}\right)^{1/(1-k)}$ . Y la integral $\int_{2u_1}^\infty e^{\frac12 u^k}\,du$ diverge.

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Poniendo todo junto, para cada $k\in (0,1)$ la integral de interés converge cuando $\text{Re}(s)=-1$ y diverge en caso contrario.

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Solución de forma cerrada para $\displaystyle s=-1$

Cuando $s=-1$ vemos que

$$\begin{align} \int_0^\infty x^{-1}e^{-\frac12 |\log(x)|^k}\,dx&=2\int_0^\infty e^{-\frac12 u^k}\,dx \end{align}$$

Ejecución de la sustitución $u=x^{1/k}$ revela

$$\begin{align} \int_0^\infty x^{-1}e^{-\frac12 |\log(x)|^k}\,dx&=\frac{2}{k}\int_0^\infty e^{-\frac12 x}\,x^{1/k-1}\,dx\\\\ &=\frac{2^{1/k+1}}{k}\int_0^\infty e^{-x}x^{1/k-1}\,dx\\\\ &=\frac{2^{1/k+1}}{k}\,\Gamma(1/k) \end{align}$$