Partícula en un anillo es un ejemplo bien conocido donde existe una solución de la ecuación de Schrödinger. Mi pregunta es: En principio también queremos que $\psi'(\theta) = \psi'(\theta + 2\pi)$. El problema es que esta condición nunca se establece explícitamente (probablemente porque de todos modos se cumple, pero en principio también necesitaríamos esta condición, ¿verdad?
Respuesta
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Una partícula en un anillo corresponde a un espacio de configuración $S^{1}$ que es simplemente un círculo. La solución a la ecuación de Schrödinger se da por (en unidades naturales):
$$\psi_{\pm} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\pm ir \sqrt{2mE}\theta}$$
Claramente, debemos identificar $\theta$ con $\theta +2\pi n$. Diferenciando la solución se obtiene,
$$\psi_{\pm}' =\pm ir \sqrt{\frac{mE}{\pi}}e^{\pm ir \sqrt{2mE}\theta}$$
La función $\psi'_{\pm}$ difiere de $\psi_{\pm}$ solo por una constante, por lo tanto también es periódica en $\theta$ con período $2\pi$, es decir,
$$\psi'_{\pm}(\theta)=\psi'_{\pm}(\theta+2\pi )$$
