Supongamos que $G$ y $H$ son grupos tales que $H$ es un subgrupo de $G$ y $o(G)=120$ y $o(H)=24$ y existe un en $G-H$ tal que $aH=Ha$ . Demostrar que $H$ es un subgrupo normal de $G$ .
He intentado el teorema de Lagrange, los índices, y muchos otros métodos sin suerte.
Considere el normalizador $N_G(H)$ . Podemos decir que $H\subseteq N_G(H)\subseteq G$ .
Por el teorema de Lagrange, $|H|$ divide $|N_G(H)|$ que también divide $|G|$ .
Desde $[G:H]=5$ es primo, no hay divisores intermedios entre $|H|$ y $|G|$ por lo que concluimos que $|N_G(H)|$ debe ser uno de estos, por lo que $N_G(H)$ es uno de $H$ o $G$ . ¿Puedes terminar?
Supongo que $a \notin H$ .
Si $a^2 \in H \cup aH$ entonces $H \cup aH$ es un subgrupo de $G$ . Por el teorema de Lagrange, esto es imposible. Del mismo modo, vemos que $a^3 \notin H \cup aH \cup a^2H$ y $a^4 \notin H \cup aH \cup a^2H \cup a^3H$ . Por lo tanto, tenemos cinco cosets disjuntos de $H$ en $G$ : $H$ , $aH$ , $a^2H$ , $a^3H$ , $a^4H$ . Su unión es todo $G$ .
También, $a^kH = Ha^k$ por cada $k=0, 1, 2, 3, 4$ . Así, $H$ es normal.
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