¿Tendría sentido hacer una descomposición de dos factores similar a la descomposición de valores singulares?

Question

Una matriz de dimensiones finitas $M$ puede descomponerse como

$$M = U \Sigma V^*$$

donde $U$ y $V^*$ son matrices unitarias cuya interpretación geométrica es la rotación y $\Sigma$ escalando a lo largo de la base ortonormal. ¿Sería posible descomponer $M$ como una sola rotación seguida de un escalamiento

$$M = \Sigma R$$

?

Answer 1

Supongamos que la descomposición del valor singular (SVD) de la matriz de dimensión finita $M$ es

$$M = U \Sigma V^*,$$

se puede insertar la identidad representada como el producto de matrices hermitianas $I = V V^*$ en la descomposición y reagrupar los factores como producto de una matriz unitaria y una matriz normal

$$M = (U V^*) (V \Sigma V^*) = W N,$$

donde $W$ es una matriz unitaria que representa una rotación, y $N$ una matriz normal que representa la contracción y la expansión a lo largo de los ejes en una base ortogonal adecuada que puede obtenerse mediante la rotación representada por la matriz unitaria $V^*$ . Obsérvese la matriz normal $N$ es unitariamente similar a la matriz diagonal $\Sigma$ .

Así que en lugar de $M = \Sigma R$ siempre se puede obtener una descomposición de la forma $M = W N$ que es descomposición polar .

Si $M$ es invertible, la descomposición es única. Esto es análogo a que el número complejo no nulo tiene una descomposición única $z = r e^{i \theta}$ hasta la periodicidad en $\theta$ .