Máxima relacionada con la matriz no negativa

Question

Supongamos que $A$ es un fijo no negativo $n\times n$ matriz real (es decir $A_{ij}\geq0$ para todos $i,j$ ). Entonces, para cualquier $n$ números reales positivos $x_1,\ldots,x_n$ , denotamos: $$F(x_1,\ldots,x_n)=\min_i\frac{1}{x_i}\sum_{j=1}^n x_jA_{ij}$$ El Teorema de Frobenius nos dice que siempre hay una desigualdad $$F(x_1,\ldots,x_n)\leq\rho(A)$$ donde $\rho(A)$ es el radio espectral de $A$ .

Aquí mi pregunta es, ¿cuál es el máximo de $F(x_1,\ldots,x_n)$ ? ¿Es sólo $\rho(A)$ ? ¿O no hay un máximo sino un supremum? Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

En esencia, se trata de la fórmula collatz-weilandt. Si su matriz $A$ es estrictamente positivo o irreducible, entonces el máximo es el radio espectral.

Answer 2

Es posible que esto no conduzca a la solución completa deseada, pero vale la pena reescribir la optimización deseada como $$\sup_{t\geq 0,\mathbf{x}> \mathbf{0}} t\\ \text{subject to }(\mathbf{A}-t\mathbf{I})\mathbf{x}\geq \mathbf{0}.$$

Actualización: Dejemos que $t_0 = \frac{1}{2}\lambda_{\max}\left(\mathbf{A}+\mathbf{A}^T\right)$ . Para cualquier $t>t_0$ y todos $\mathbf{x}\ne \mathbf{0}$ tenemos $\mathbf{x}(\mathbf{A}-t\mathbf{I})\mathbf{x}^T<0$ . Por lo tanto, $(\mathbf{A}-t\mathbf{I})\mathbf{x}\geq \mathbf{0}$ no se puede mantener para cualquier $\mathbf{x}>0$ . Así que su óptimo $t$ debe ser menor o igual a $t_0$ .

Además, para los positivos $A$ el máximo es el valor propio de Perron-Frobenius (véase aquí punto nº 6).