La probabilidad de pisar y terminar donde se empieza.

Question

Una partícula se mueve $N$ pasos como se detalla aquí: en cada paso ha de girar hacia el norte, el sur, el este o el oeste, una unidad cada vez, con probabilidad invariable y sin dependencia de ningún paso reciente. (Eso crea un espacio muestral uniforme, $|\Omega|=4^N$ ). ¿Cuál es la probabilidad de que termine en su punto de partida?

Sé que tengo que encontrar un evento A, y calcular combinatoriamente $|A|$ . Mi mayor problema es: por cada paso que doy hacia el norte camino uno hacia el sur(respectivamente) y hago lo mismo con el este y el oeste? Porque si es así, creo que puede resolverlo por mi cuenta. Sin embargo, este tipo de pregunta me confunde. Me vendría muy bien su observación.

Answer 1

Para llegar al origen, hay que tener el mismo número de pasos al norte y al sur e igual número de pasos al este y al oeste.

Dejemos que las probabilidades sean $p_N,p_S,p_E\text{ & }p_W$ para el Norte, el Sur, el Este y el Oeste. Deje que $n$ sea el número de pasos. Este es un distribución multinomial y la probabilidad es:

$$P(O)=\begin{cases} \sum_{i=0}^\frac{n}{2}\frac{n!}{i!^2(n-i)!^2}p_N^ip_S^ip_E^{n-i}p_W^{n-i}&n\text{ even}\\ 0&n\text{ odd}\\ \end{cases}$$