Derivación de la ecuación de Raychaudhuri según Wald

Question

Tengo una pregunta rápida, en la derivación del Ecuación de Raychaudhuri en Wald: Relatividad General en la página 218, ecuación 9.2.10, una identidad para $\xi^a \nabla_a B_{ab}$ se deriva, donde $B_{ab} = \nabla_b \xi_a$ y $\xi^a$ es una geodésica de la línea de tiempo. De la segunda a la tercera línea, la expresión $\nabla_b(\xi^c \nabla_c \xi_a)$ se supone que desaparece. ¿Por qué? ¿Es sólo la ecuación geodésica? ¿Se mantiene aunque $\xi_a$ es un vector covariante?

Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

Ese término desaparece por la razón que usted sospecha. Es simplemente la ecuación geodésica. Una geodésica $\xi^a$ es una curva definida de tal manera que $\nabla_\xi\xi^c=\xi^a\nabla_a\xi^c=0.$ Si su preocupación es que el objeto dentro de la derivada covariante es $\xi_a$ en lugar de $\xi^a$ entonces sólo hay que utilizar un hecho más que es que la métrica es preservada por la derivada covariante, es decir $\nabla_a g_{bc} = 0$ . Por lo tanto: $\xi^a\nabla_a\xi_c = \xi^a\nabla_a g_{bc}\xi^b = g_{bc}\xi^a\nabla_a\xi^b = 0.$