¿Cómo calcular el aumento de la amplitud por resonancia?

Question

Si se conoce la frecuencia natural de un objeto, ¿cómo se puede calcular cuánto aumenta la amplitud debido a la resonancia? Me imagino que dependerá del material.

Answer 1

En general, es necesario conocer tanto la intensidad de la fuerza motriz, su frecuencia, como el coeficiente de pérdida de las ecuaciones. Un oscilador armónico simple impulsado y amortiguado en una dimensión satisface: $$\frac{d^{2}z}{dt^{2}} + \gamma \frac{dz}{dt} + \omega_{0}^{2} z = \frac{F_{0}}{m}e^{j\omega t}$$ Nótese que esto describe la respuesta de un sistema simple a una frecuencia específica de fuerza motriz. Tiene sentido intuitivo que la solución tenga una frecuencia igual a la de la fuerza motriz. Sin embargo, podría tener un factor de fase. Por lo tanto, suponemos una solución de la forma $z = A e^{j(\omega t - \phi)}$ y entonces podemos resolver para A y ver cuál será la respuesta en función de la frecuencia de la fuerza motriz. Si lo introducimos, encontraremos: $$(-\omega^{2} + \omega_{0}^{2} + j\gamma \omega)A e^{j\omega t} = \frac{F_{0}}{m} e^{j\omega t} e^{j\phi}$$ Como ambos lados son complejos, obtenemos dos ecuaciones en dos incógnitas, $A$ y $\phi$ . Tras un poco de álgebra, obtenemos que $$A(\omega) = \frac{F_{0}/m}{((\omega_{0}^{2} - \omega^{2})^{2} + (\gamma \omega)^{2})^{1/2}}$$ . Ese es el resultado que quieres. Has preguntado por su dependencia del medio. El medio determinará el coeficiente de pérdida $\gamma$ . Como $\gamma$ es mayor, el denominador aumenta y la amplitud de la oscilación disminuye.

Esta derivación se encuentra en Vibraciones y Ondas de A.P. French, junto con mucha más información.