La ecuación de movimiento de una bola de nieve

Question

Estoy tratando de derivar la ecuación del movimiento de una bola de nieve por una pendiente, dados algunos factores conocidos, en forma de su aceleración angular, aceleración, velocidad o velocidad angular expresada en función del tiempo. He llegado a este punto;

$$g\sin \theta=6w\frac{dr}{dt}+\frac 75 \frac{rdw}{dt}$$

Donde $\theta$ es el ángulo de inclinación de la pendiente, $w$ es su velocidad angular, $r$ es su radio, y $g$ es la gravedad. $dr/dt$ es la tasa de cambio del radio y $dw/dt$ es la tasa de cambio de la velocidad angular. Ahora necesito integrar esto de tal manera que el radio se exprese como alguna función de la velocidad angular. La pregunta original que seguía en este punto suponía que theta era igual a cero (es decir, la pendiente es plana) para simplificar los cálculos. No estoy seguro de cómo trabajar con una ecuación diferencial cuando parece que hay 3 variables. Por favor, ayuda.

Answer 1

Por definición de la velocidad angular podemos argumentar que: $$r\omega=gt\sin \theta $$ o $$\frac{1}{\omega}=\frac{r}{gt\sin\theta}$$ también podemos escribir la ecuación diferencial de la pregunta de la siguiente manera: $$g\sin \theta=4.6(\omega\frac{dr}{dt})+1.4(\omega\frac{dr}{dt}+r\frac{d\omega}{dt})=4.6(\omega\frac{dr}{dt})+1.4g\sin \theta$$ por fin tenemos: $${-0.4g\sin\theta}\frac{1}{\omega}=4.6\frac{dr}{dt}$$ esto lleva a $$-0.4\frac{r}{t}=4.6\frac{dr}{dt}\to \ln t=C-11.5\ln r\to r=Ct^{-\frac{2}{23}}\quad,\quad \omega=Cg\sin\theta t^{\frac{25}{23}}$$