El número máximo de rangos de fabricación de rectas

Question

Pregunta de nerd del póker aquí... Empezaré con algunas definiciones de los términos estándar del póker:

A flop es $3$ tarjetas elegidas de una $52$ baraja de cartas. Por ejemplo: $789$ (los trajes son irrelevantes para esta cuestión). Si sacas una cuarta carta del mazo obtienes un tarjeta de turno .

A recto son 5 cartas seguidas, por ejemplo $56789.$ Al hacer una escalera, un As puede contar tanto como $1$ y $14$ . Por ejemplo, $TJQKA$ es una recta, y también lo es $A2345$ . Sin embargo, no se puede "envolver el as": Por ejemplo, $KQA23$ no es una recta.

Por último, un mano de holdem son sólo 2 cartas elegidas de una baraja de 52 cartas.

He aquí una definición que yo mismo he inventado. Digamos que se nos da un flop F. Yo defino una tarjeta de fabricación recta para F como una carta de turno T para la que hay una mano holdem H tal que H no hizo una escalera con F, pero H hace una escalera con F y T combinadas. A rango de fabricación de rectas es el rango de una carta que hace escalera.

Por ejemplo, 5 es una escalera que hace rango para el flop 789 porque la mano holdem 46 hace una escalera en 7895, pero no en 789. (La escalera que se hace es 45678). En total, el 789 tiene cuatro rangos de escalera: 5,6, T y J. (El 4 y la Q no cuentan porque el 56 (y el TJ) ya hacían escalera).

EDIT: En el contexto de esta pregunta, la mano holdem debe usar sus dos cartas para hacer una escalera. Así que, por ejemplo, la mano K6 que hace una escalera en un tablero de 7895 no cuenta.

Ahora tengo esta conjetura:

(*) Ningún flop tiene más de 6 rangos que hagan escalera.

Después de haber examinado varios tipos de fracaso, estoy bastante seguro de que (*) es cierto. Me pregunto si alguien puede presentar una prueba elegante y sucinta (admito que "elegante" y "sucinta" son términos subjetivos).

Answer 1

No es una solución, pero sí algunas observaciones potencialmente útiles.

Como estás buscando un número máximo de SMRs, deberías asumir que tu flop está en el "medio" de las filas. Cualquier cosa en un "borde" (cerca de A o K) sólo tendrá menos.

Que los rangos del flop sean $f_1, f_2, f_3$ en orden no decreciente, con diferencias $d_1 = f_2 - f_1$ y $d_2 = f_3-f_2$ . Para hacer una recta, se necesita $\min(d_1,d_2) \leq 4$ . (El flop 2, 7, Q no tiene ninguna escalera que haga rangos; el flop 2, 6, 10 tiene 6 SMRs).

Si se observan los casos aislados (en los que una tarjeta está demasiado lejos para que importe), un $d_i = 4$ tiene 3 SMR (los rangos intermedios), $d_i = 3$ tiene 4 SMR (los rangos intermedios, uno inferior y uno superior), $d_i = 2$ tiene 5 SMR (el rango intermedio, dos por encima y dos por debajo), $d_i = 1$ cuenta con 6 SMRs (3 por debajo y 3 por encima), $d_i = 0$ no tiene RME.

Para trabajar con los casos combinados, puede organizarse por $r = f_3 - f_1$ . Si $r \geq 9$ , sólo tienes uno de los casos aislados de arriba. Para $r \leq 8$ Hay que pensar en cómo se combinan los casos anteriores. Al menos, utilizando la simetría, puedes suponer $d_1 \geq d_2$ . Hay 10 casos para trabajar, que se enumeran a continuación como $r = d_1 + d_2$ , particiones en dos partes de $r$ con la parte más grande 4. Tenga en cuenta que cualquier $d_i = 0$ se reduce a uno de los casos aislados anteriores.

8 = 4+4

7 = 4+3

6 = 4+2 = 3+3

5 = 4+1 = 3+2

4 = 3+1 = 2+2

3 = 2+1

2 = 1+1

Así que no es elegante, pero en realidad no son muchos los casos en los que hay que trabajar.