expresar algún polinomio en términos de polinomios simétricos

Question

Expresar el elemento $(a-b)^2(a-c)^2(b-c)^2$ En términos de los polinomios elementales simétricos.

Leí la prueba usando la Teoría de Galois, de que cualquier polinomio simétrico se puede escribir en términos de los polinomios simétricos. Estaba haciendo algunos ejemplos explícitos. Sé que existe un algoritmo, pero no quiero leerlo, sólo quiero calcular algunos ejemplos. Pero no sé cómo expresar el polinomio D anterior:

Answer 1

Pues bien, empieza por escribir los productos de los polinomios simétricos elementales en $3$ variables que tienen el grado correcto, tomar una combinación lineal de ellas con coeficientes $t_1, t_2, \ldots$ y ver cuáles deben ser los coeficientes para que coincida con tu polinomio.

Answer 2

Resulta que esa expresión es el discriminante $\Delta(a, b, c)$ del polinomio $$(x-a)(x-b)(x-c) = x^3 - s_1 x^2 + s_2 x - s_3$$ donde $s_1, s_2, s_3$ son polinomios simétricos en $a, b, c$ de grado $1, 2, 3$ . El discriminante indica cuándo este polinomio tiene un múltiplo de cero, o en otras palabras, cuándo el polinomio y su derivada tienen una raíz común. Se expresa mediante un múltiplo de su resultante y tras comprobar un valor determinado (por ejemplo $a=-1, b = 0, c=1$ ) encontramos

$$ \begin{eqnarray} \Delta(a,b,c) &=& -\operatorname{resultant}(x^3-s_1x^2+s_2x-s_3, 3x^2-2s_1x+s_2)\\ &=& s_1^2 s_2^2-4 s_2^3-4 s_1^3 s_3+18 s_1 s_2 s_3-27 s_3^2 \end{eqnarray} $$

Answer 3

Puede utilizar el hecho de que $(x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_2-x_1)$ es el determinante de la matriz de Vandermond $V\in GL_3(\mathbb{R})$ teniendo $V_{ij}=x_j^i$ . El determinante de $V\, V^T$ es claramente el cuadrado del determinante de $V$ y cada elemento de $W=V\,V^T$ es un polinomio simétrico en $(x_1,x_2,x_3)$ en particular: $$W_{ij}=x_1^{i+j}+x_2^{i+j}+x_3^{i+j},$$ así que $\det W$ también es un polinomio simétrico.

Answer 4

$(a-b)^2(a-c)^2(b-c)^2$

Set $c=0$ .

$(a-b)^2a^2b^2 = ((a+b)^2-4ab)^2 ( ab) ^2 = (e_1^2 - 4e_2)e_2^2$

Resta esta expresión del polinomio completo:

$$(a-b)^2(a-c)^2(b-c)^2 - ((a+b+c)^2-4ab-4bc-4ac) (ab+bc+ca)^2 \\ = abc \cdot (\text{polynomial of degree $ 3 $}) $$

Repite el procedimiento para el polinomio de grado 3.