¿Cómo mostrar la precompacidad en el espacio de Holder?

Question

Dejemos que $K \in \mathbb{R}^d$ sea un conjunto compacto y consideremos el espacio de las funciones continuas de Hölder $C^{0,\gamma}(K)$ con norma $||f||_{C^{0,\gamma}}:=||f||_{\infty}+\sup_{x,y \in K,x \neq y}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\gamma}}$ . Supongamos que tenemos una secuencia acotada $\{f_n\} \subset C^{0,\gamma}(K)$ es decir $\exists C>0$ s.t. $\sup_{n}||f_n||_{C^{0,\gamma}} \leq C$ . ¿En qué condiciones podemos decir que la secuencia $\{f_n\}$ es precompacto en $C^{0,\gamma}(K)$ ? En otras palabras, ¿cuáles son las condiciones suficientes que garantizan que existe una subsecuencia $f_{n_k}\subset f_n$ y un $f \in C^{0,\gamma}(K)$ tal que $f_{n_k} \xrightarrow{C^{0,\gamma}}f$ ?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Una condición suficiente es: la secuencia $f_n$ está acotado en $C^{0,\gamma+\epsilon}$ para algunos $\epsilon>0$ . Para una prueba, véase ¿Existe una referencia para la incrustación compacta del espacio de Hölder?

Una condición suficiente ligeramente más débil: existe un módulo de continuidad $\omega:(0,\infty)\to(0,\infty)$ tal que $\omega(\delta)=o(\delta^\gamma) $ como $\delta\to 0$ y $$|f_n(a)-f_n(b)|\le \omega(|a-b|) \tag{1}$$ para todos $a,b$ en $K$ y para todos $n$ .

La prueba es la misma que en el hilo enlazado arriba. A saber, extraer una subsecuencia uniformemente convergente por Ascoli-Arzelà y utilizar (1) en la forma $$\frac{|f_n(a)-f_n(b)|}{|a-b|^\gamma} \le \tau(|f_n(a) -f_n(b) |) $$ donde $\tau$ es tal que $\tau(t)\to 0$ como $t\to 0$ . La existencia de $\tau$ se obtiene reescribiendo (1) como $$\omega^{-1}(|f_n(a)-f_n(b)|)\le |a-b| $$ donde $\omega^{-1}$ es la inversa de $\omega$ por lo que satisface $\omega^{-1}(t)/t^{1/\gamma}\to\infty$ como $t\to0$ .