Límites de las funciones medibles

Question

Dejemos que $(X, \mathcal{M})$ sea un espacio medible y que $f_1, f_2, ... : X \longrightarrow [-\infty, \infty]$ sean funciones medibles. Entonces $\{x \in X: \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) \text{ exists in } [-\infty, \infty]\} \in \mathcal{M}$ .

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Mi profesor dio este problema como extra durante el trimestre de primavera, y al revisar mis notas me di cuenta de que nunca lo terminé.

Sé que si para todos $x \in X$ , $f_n(x) \to f(x)$ entonces $f(x)$ es medible, pero estoy teniendo dificultades para lidiar con esta situación, donde el $f_n(x)$ podría no converger para todos los $x$ .

Mi profesor sugirió que empezáramos mostrando que $\{x \in X: f_n(x) \to 12\} \in \mathcal{M}$ , lo que he hecho:

Sabemos que $\limsup\limits_{n \to \infty} f_n(x)$ y $\liminf\limits_{n \to \infty} f_n(x)$ son funciones medibles, y que para todo $x$ , $f_n(x) \to 12$ si y sólo si $\limsup\limits_{n \to \infty} f_n(x) = \liminf\limits_{n \to \infty} f_n(x)=12$ . Así,

$$\{x \in X: f_n(x) \to 12\} = \{x \in X: \limsup\limits_{n \to \infty} f_n(x)= 12\} \cap \{x \in X: \liminf\limits_{n \to \infty} f_n(x)= 12\}$$

está en $\mathcal{M}$ ya que es la intersección de dos conjuntos en $\mathcal{M}$ .

Sin embargo, no estoy seguro de cómo adaptar esto a la situación que nos ocupa.

Answer 1

Aquí tenemos un enfoque esencialmente de primeros principios: podemos escribir $$\{x\in X:\lim_{n\to\infty}f_n(x)\;\mathrm{exists}\}=A\cup A_{\infty}\cup A_{-\infty}$$ donde $A_{\pm\infty}$ son los conjuntos de $x$ tal que el límite es igual a $\pm\infty$ respectivamente, y $A$ es el conjunto de $x$ tal que el límite existe y es real.

Ahora $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\infty$ si para todo $M\geq 1$ existe $N$ tal que $f_n(x)\geq M$ para todos $n\geq N$ . Por lo tanto, $$A_{\infty}=\bigcap_{M=1}^{\infty}\bigcup_{N=1}^{\infty}\bigcap_{n=N}^{\infty}\{x:f_n(x)\geq M\}$$ por lo tanto, es medible. Un argumento similar funciona para $A_{-\infty}$ .

Finalmente, $\{f_n(x)\}$ converge a un número real si y sólo si $f_n(x)$ es real para todos los casos menos para un número finito de $n$ y $\{f_n(x)\}$ es una secuencia de Cauchy, por lo que $$A=\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{N=1}^{\infty}\bigcap_{m,n=N}^{\infty}\bigcup_{r\in\mathbb{Q}}\{x:r-k^{-1}<f_n(x),f_n(x)<r\}$$ que es medible.

Answer 2

Dejemos que $A=\{x \in X| \exists \lim_{n \rightarrow \infty}f_n(x) \in [- \infty,+ \infty] \}$

Entonces $A=A_1 \cup A_2 \cup A_3$ donde $A_1=\{x \in X|f_n(x)$ es Cauchy en $\mathbb{R}$ $\}$

$$A_2=\{x \in X| \lim_n f_n(x) =+ \infty\}$$ $$A_3=\{x \in X| \lim_n f_n(x) =- \infty\}$$

Ahora bien, si recuerdas la definición de una sucesión de Cauchy puedes demostrar que

$A_1= \bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{n_0 \in \mathbb{N}} \bigcap_{m,n \geqslant n_0}^{ \infty} \{x \in X:|f_n(x)-f_m(x)|< 1/ k\}$ que es un conjunto medible porque $f_n$ son medibles para cada $n \in \mathbb{N}$

También de la definición $A_2= \bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{N \in \mathbb{N}} \bigcap_{n \geqslant N} \{x \in X:f_n(x) \geqslant k\}$ que también es un conjunto medible debido a las propiedades de un álgebra sigma y a la mensurabilidad de $f_n$ .

El caso de $A_3$ te lo dejo a ti. Sólo tienes que modificar la idea para $A_2$

Finalmente $A$ es medible como una unión de conjuntos medibles $A_1,A_2,A_3$

Espero que sea de ayuda.

Si necesita más orientación, hágamelo saber.

Answer 3

Para $\lim_{n \to \infty} f_n(x)$ existir (y en $\mathbb{R}$ ), es necesario y suficiente que $(f_n(x))_n$ es una secuencia de Cauchy, es decir

$$\forall \varepsilon >0 : \exists N : \forall n,m \ge N: |f_n(x) - f_m(x)| < \varepsilon$$

Denota por $g_{n,m}: X \to [-\infty,+\infty]$ la función $g_{n,m}(t) = |f_n(t) - f_m(t)|$ y observe que todas estas funciones $g_{n,m}$ son medibles, ya que el $f_n$ todos lo son.

Para que todo sea contable, utilizamos sólo $\varepsilon$ de la forma $\frac{1}{n}$ que es suficiente. Así que podemos reescribir la definición de Cauchy anterior como que el límite de $f_n(x)$ como $n \to \infty$ existe si

$$x \in M:=\bigcap_{k \in \mathbb{N}} \bigcup_{N \in \mathbb{N}} \bigcap_{n\ge N} \bigcap_{m \ge N} g_{n,m}^{-1}[[0, \frac{1}{k})]$$

y $M$ es un conjunto medible.