Mi profesor me dijo que $\mu$ El Potencial químico , es cero o negativo, y en el siguiente ejemplo, matemáticamente actúa como una constante de normalización. Pero, ¿hay alguna idea física sobre por qué el bosón gas puede ser cero o negativo?
Creo que se debe al hecho de que el gas fotónico puede surgir de la nada (es decir, la fluctuación del vacío).
$$ f_{BE}(\varepsilon)=\dfrac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/(k_B T)}-1}$$
El potencial químico puede considerarse como la aceptación del sistema de nuevas partículas, es decir, cuánto trabajo hay que hacer para introducir una nueva partícula en el sistema.
Como se pueden meter tantos bosones en un estado determinado como se quiera, el sistema siempre acepta nuevas partículas. En el peor de los casos, hay que realizar un trabajo nulo para añadir un bosón (correspondiente a $\mu=0$ ), y a menudo el sistema se alegra de acoger una nueva partícula (correspondiente a $\mu<0$ ).
En cambio, sólo se puede poner un fermión en un estado determinado. Si tienes un fermión con una energía determinada, y quieres añadirlo a un sistema en el que el estado de esa energía ya está ocupado, el sistema tiene que jugar a las sillas musicales para que eso ocurra. Puede que tengas que empujar ese fermión hacia dentro, en cuyo caso el sistema no estará contento con ello; tendrías que hacer algo de trabajo ( $\mu>0$ ).
En el caso de los fotones, el sistema tomará cualquier energía que le des, pero no te recompensará por ello; simplemente no le importa. $\mu=0$ . Sería raro que $\mu$ fuera negativo, porque eso haría que absorbiera todos los fotones (energía) que pudiera conseguir.
Edición en respuesta a la pregunta del comentario:
¿Por qué es $\mu$ la energía necesaria para adherirse a otra partícula? Trabajemos con una distribución Maxwell-Boltzmann porque es más sencilla. (A decir verdad, no estoy seguro de cómo hacerlo con Bose-Einstein o Fermi-Dirac, pero no voy a perder el sueño por ello; puedes divertirte con eso). Digamos que tienes estados de energía $\epsilon_i$ , $N$ partículas, y $E$ energía total. Entonces tienes dos condiciones de normalización:
$$N=\sum_in\left(\epsilon_i\right)=\sum_ie^{\alpha+\beta\epsilon_i}$$ $$E=\sum_i\epsilon_in\left(\epsilon_i\right)=\sum_i\epsilon_ie^{\alpha+\beta\epsilon_i}$$
(Me gusta más esta notación; $\beta=\left(k_bT\right)^{-1}$ y $\alpha=-\beta\mu$ )
Queremos demostrar que el potencial químico es el cambio en la energía del sistema al aumentar el número de partículas: $\frac{\partial E}{\partial N}=-\mu$ . (¿Por qué el signo menos? Así es como se define. Hay muchas definiciones de impar en stat mech).
Empezando:
$$N=e^\alpha\sum_ie^{\beta\epsilon_i}$$ $$e^\alpha=\frac{N}{Z}$$
donde $Z=\sum_ie^{\beta\epsilon_i}$ . Tenga en cuenta que $\frac{\partial Z}{\partial\beta}=\sum_i\epsilon_ie^{\beta\epsilon_i}$
Entonces
$$E=\frac{N}{Z}\sum_i\epsilon_ie^{\beta\epsilon_i}$$ $$E=\frac{N}{Z}\frac{\partial Z}{\partial\beta}$$ $$E=-N\frac{\partial}{\partial\beta}\ln{Z}$$ $$\frac{\partial E}{\partial N}=-\frac{\partial}{\partial\beta}\ln{Z}$$
Si lo ponemos todo junto en términos de $\mu$
$$e^{-\beta\mu}=\frac{N}{Z}$$ $$-\beta\mu=\ln{N}-\ln{Z}$$ $$-\ln{Z}=\ln{N}-\beta\mu$$ $$-\frac{\partial}{\partial\beta}\ln{Z}=-\mu$$ $$\frac{\partial E}{\partial N}=-\mu$$ QED
Creo que se puede considerar que el potencial químico cero es un efecto de la aparición del fotón. Tanto el potencial químico como la temperatura aparecen como un multiplicador indeterminado debido a la conservación de la energía y del número de partículas respectivamente. En el caso del fotón, no hay conservación del número de partículas y, por tanto, el correspondiente multiplicador indeterminado, es decir, el potencial químico ( $\mu/kT$ para ser precisos) también es cero para todos los estados de energía.
De otra manera se puede decir que como el número de partículas es indefinido para cada nivel de energía, la configuración de equilibrio se describe por la minimización de la energía libre, $\partial A / \partial N_i =0$ . Cuando todos los $N_i$ son independientes entre sí (como resultado de la producción y destrucción espontánea del fotón), esto implica $\mu_i=0$ para todos $i$ .
Para ser un poco más precisos: el potencial químico de un sin interacción El gas de Bose debe ser superior a la energía de la partícula individual en estado básico de ese gas. Si hay (como por ejemplo, en $^4\rm He$ ) las interacciones repulsivas entre las partículas, el potencial químico puede ser cualquier cosa.
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