En finitos anillos conmutativos con el número de ideales igual al número de elementos de un anillo

Question

Deje $R$ ser un número finito de anillo conmutativo con identidad. Bajo qué condiciones el número de ideales de a $R$ es igual al número de elementos de a $R$?

La única clase de anillos con esta propiedad, que yo sepa, es la clase de finito booleano anillos. Yo no sé si por el contrario es cierto. Así que cualquier sugerencia sería útil.

Answer 1

Descargo de responsabilidad. Este es sólo un resultado parcial.

Desde un finito anillo conmutativo es artinian es isomorfo a un número finito producto directo de finito artinian local de los anillos. Decir $R\simeq R_1\times\cdots\times R_n$.

Suponga $R$ es un PIR.

Desde $R$ es un PIR todos los $R_i$ son PIRs.
Supongamos ahora que $R$ es local y deje $\mathfrak m$ ser su máximo ideal. No es $r\ge1$ tal que $\mathfrak m^r=0$, y elija $r$ mínimo. Desde $\mathfrak m$ es director de los ideales de la $R$$(0),\mathfrak m^{r-1},\dots,\mathfrak m,R$, lo $R$ $r+1$ ideales. Por otro lado, $|R|=|R/\mathfrak m|^{\ell(R)}$ donde $\ell(R)$ denota la longitud de $R$. En este caso,$\ell(R)=r$, y por lo tanto $|R|=|R/\mathfrak m|^r\ge r+1$. (Tenga en cuenta que esta desigualdad nos ayuda a pasar de lo local a lo global). En orden a la igualdad debemos tener $|R/\mathfrak m|=2$$r=1$, lo $R\simeq\mathbb F_2$.

Conclusión: $R$ es finito, producto directo de las copias de $\mathbb F_2$.

Answer 2

Su condición asegura un bijection de los ideales xA y todos los ideales de A, por lo tanto el único elemento invertible debe ser la identidad.Usted puede obtener un ejemplo con el que no conmutativa de los anillos (me pregunto por la posibilidad de matrices, pero no estoy seguro)