Soy físico, por lo que mis conocimientos de análisis funcional se limitan a lo básico. Sin embargo, me gustaría demostrar que el operador libre de Dirac es autoadjunto (o hermitiano, o ninguna de las dos cosas). El operador libre de Dirac es un operador diferencial de la siguiente forma:
$D = -i\alpha \nabla + \beta$ ,
donde $\alpha$ y $\beta$ son sólo hermitianos $4 \times 4$ matrices. Este operador actúa sobre un estado de funciones de 4 componentes' de $\mathbb{R}^3$ a $\mathbb{C}^4$ .
El producto interior se define como la integral del producto de dos funciones de este espacio (siendo una de ellas un conjugado complejo).
Supongo que estas funciones deben ser también integrables al cuadrado, es decir, de $L^2$ . (Si también deben definirse en algún intervalo acotado, entonces las condiciones de contorno podrían ser simplemente: $f(0) = f(1) = 0$ .)
Desde un punto de vista matemático, ¿qué más se necesita para demostrar formalmente que este operador es autoadjunto?
