¿Cómo demostramos que la función norma es continua?

Question

¿Cómo podría mostrar que $\lim \|x_k\|=\|a\|$ teniendo en cuenta que $\lim x_k=a$ y $x_k \in \mathbb{R}^n$

recordemos que $\|x\|= \sqrt{\langle x,x \rangle}= \sqrt{\sum x_i^2}$

Answer 1

Propuesta

Si $x_{k} = (x_{1}^{k},x_{2}^{k},\ldots,x_{n}^{k})\in\mathbb{R}^{n}$ converge a $a = (a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})\in\mathbb{R}^{n}$ entonces $\|x_{k}\|$ converge a $\|a\|$ .

Prueba

Según la desigualdad del triángulo, se concluye que \begin{align*} \|x\| = \|x - a + a\| \leq \|x - a\| + \|a\| \Rightarrow \|x\| - \|a\| \leq \|x - a\| \end{align*} Del mismo modo, se tiene que \begin{align*} \|a\| = \|a - x + x\| \leq \|a - x\| + \|x\| \Rightarrow \|a\| - \|x\| \leq \|x - a\| \end{align*}

Por lo tanto, $\|x - a\|\geq\max\{\|x\| - \|a\|,\|a\| - \|x\|\} = |\|x| - \|a\||$ .

Desde $x_{k}$ converge a $a$ concluimos que $x_{j}^{k}$ converge a $a_{j}$ .

Por lo tanto, teniendo en cuenta $\varepsilon > 0$ hay números naturales $N_{\varepsilon_{j}}$ tal que \begin{align*} k\geq N_{\varepsilon_{j}} \Rightarrow |x_{j}^{k} - a_{j}| \leq \varepsilon/n \end{align*}

Si tomamos $N_{\varepsilon} = \max\{N_{\varepsilon_{1}},N_{\varepsilon_{2}},\ldots,N_{\varepsilon_{n}}\}$ concluimos que \begin{align*} k\geq N_{\varepsilon} \Rightarrow |\|x_{k}\| - \|a\|| \leq \|x_{k} - a\| \leq |x_{1}^{k} - a_{1}| + |x_{2}^{k} - a_{2}| + \ldots + |x_{n}^{k} - a_{n}| \leq \varepsilon \end{align*}

y hemos terminado.

Espero que esto ayude.