¿Componente tangencial del vector normal paralelo a la curva si la curva es geodésica?

Question

Ejercicio 6.3 (Millman & Parker, Elements of Differential Geometry) . Sea $$X_N = N - \langle N, n \rangle n $$ sea la componente tangencial del vector normal $N$ de una curva de velocidad unitaria $\gamma$ en una superficie $M$ . Demuestra que las siguientes son equivalentes:

1. $X_N = 0$ .
2. $\gamma$ es una geodésica.
3. $X_N$ es paralela a lo largo de $\gamma$ .

Tengo problemas para demostrar que (3) implica (1) o (2). ¿Alguna idea? Creo que puedo hacer las otras implicaciones..

(1 -> 2): Si $X_N = 0$ entonces $N = \langle N, n \rangle n$ para que $$\kappa_g := \langle \gamma'', S\rangle = \kappa \langle N, S \rangle = \kappa \langle \langle N, n \rangle n, S \rangle = 0. $$

(2 -> 1): Si $\kappa_g = 0$ entonces $\langle N, S \rangle = 0$ . Desde $\{n, T ,S\}$ forman una base ortonormal, $$X_N = \langle N, T\rangle T+ \langle N, S\rangle S = 0.$$

(1 -> 3): Si $X_N = 0$ entonces $\frac{dX_N}{dt} = 0$ es claramente perpendicular a la superficie $M$ .

En la notación de mi libro, $T = \gamma'$ , $N= T' / \kappa$ , $n$ es la normal unitaria a la superficie, $S = n \times T$ y un campo vectorial $X$ se dice que es paralela a lo largo de $\gamma$ si $dX/dt$ es perpendicular a $M$ .

Answer 1

Como la traslación paralela preserva los ángulos, si $X_N$ es paralelo a lo largo de $\gamma$ Así es $T$ . Esa es una de las definiciones de una geodésica.