Teorema del valor intermedio, $f(x)=-4x^2+12x.$

Question

Tengo un problema con el teorema del valor intermedio. Por ejemplo, si tengo la función $(x)=-4x^2+12x$ Puedo obtener, por ejemplo, todos los valores de $x=0$ a $x=2$ Así que $f(0)=0$ y $f(2)=8$ con el teorema del valor intermedio, sé que la función toma todos los valores de $0$ a $8$ . Pero también toma el valor $9$ cuando $x$ va de $0$ a $2$ , por lo que con el teorema del valor intermedio no puedo conocer todo el valor que toma la función.

Puede alguien explicarme por qué ocurre esto en este ejemplo, y obviamente en otros.

Answer 1

El IVT afirma que si $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ es continua, entonces $f$ tiene que asumir todo el valor entre $f(a)$ y $f(b)$ para al menos una $x \in [a,b]$ .

En su ejemplo, la función alcanza un extremo dentro de el intervalo, tal situación no está cubierta por la IVT. La IVT tiene un conjunto limitado de supuestos, y conocer los valores en la frontera con continuidad garantizada no es suficiente para caracterizar todos los valores en el interior que tomará la función.

Answer 2

Según Wikipedia :

Si $f$ es una función continua cuyo dominio contiene el intervalo $[a, b]$ entonces toma un valor cualquiera entre $f(a)$ y $f(b)$ en algún punto dentro del intervalo.

El teorema del valor intermedio sólo garantiza, en este caso, que todos los valores y de $0$ a $8$ tendrá al menos $1$ valor x entre $0$ y $2$ (dado que la función es continua, como es el caso). No garantiza ni prohíbe nada fuera del rango $[0, 8]$ .

Answer 3

Para explicar esto, hay que examinar

$[E_1]: ~f'(x) = -8x + 12$ y

$[E_2]: ~f''(x) = -8.$

Utilizando $[E_1]$ y $[E_2],$ es inmediato que como

$x$ va de 0 a 1,5, $f(x)$ está aumentando, y

como $x$ va de 1,5 a 2, $f(x)$ está disminuyendo.

Usted tiene $f(0) = 0, f(1.5) = 9, f(2) = 8.$

Desde $x=1.5$ es un punto crítico, re $f'(1.5) = 0$ ,

y como $f''(1.5) < 0,$

$f(x)$ ha alcanzado un valor máximo en $x=1.5.$