Encontrar el lugar de un $z=x+iy$ y su radio si $|z-1|=2|z+2-3i|$

Question

Si el punto $P$ en el plano complejo corresponde al número complejo $z=x+iy$ demuestran que si $|z-1|=2|z+2-3i|$ entonces el lugar de $P$ es un círculo con centro en $-3+4i$ y encontrar el radio del círculo.

Poniéndolos en ecuaciones cartesianas, tenemos:

$$ (x-1)^2+y^2=2[(x+2)^2+(y-3)^2]\\ x^2-2x+1+y^2=2x^2+8x+8+2y^2-12y+18\\ -x^2-10x-y^2+12y=25 $$

Así que parece que el centro debe ser $(-5,6)$ o $-5+6i$ con un radio de $5$ pero eso no coincide con la respuesta correcta ( $2\sqrt2)$ . ¿Estoy haciendo algo mal?

Answer 1

Gracias a Anurag A:

$$ (x-1)^2+y^2=4[(x+2)^2+(y-3)^2]\\ 0=3x^2+18x+3y^2-24y+51\\ -(x+3)^2-(y-4)^2=-8\\ $$

Por lo tanto, el centro es $(-3,4)$ o $-3+4i$ y el radio es $\sqrt8$ o $2\sqrt2$ .

Answer 2

Con $z=x+iy$ obtenemos $|x-1+iy|=2|x+2-3i|$
$\sqrt{(x-1)^2+y^2}=2\sqrt{(x+2)^2+9}$ simplificando esto obtenemos $(x-1)^2+y^2=4(x+2)^2+36$ $y^2-3x^2-18x=51$
$y^2=3x^2+18x+51$ Ah, sí. $|z-1|=2|z+2-3i|$ ? un momento por favor tenemos en este caso $(x-1)^2+y^2=4(x+2)^2+4(y-3)^2$ simplificando esto obtenemos $(x+3)^2+(y-4)^2=8$