Dejemos que $S$ sea un esquema, $R,U$ sea $S$ -esquemas y $s,t : R \to U \times_S U$ sea una relación de equivalencia, es decir, un monomorfismo tal que para cada $S$ -sistema $T$ , $R(T) \to U(T) \times U(T)$ es una relación de equivalencia en el sentido habitual.
Denotamos por $Q$ el $fppf$ asociado a la preforma $$T \mapsto U(T)/\sim_{R(T)} $$
La flecha $\pi : U \to Q$ es el coequipo, en la categoría de $fppf$ de los mapas $s,t : R \to U$ visto como mapas de $fppf$ gavillas. Nótese que como tal es un epimorfismo.
Dejemos que $\pi : Q' \to Q$ sea cualquier morfismo. Definimos $R' = R \times_Q Q'$ y $U' = U\times_Q Q'$ . Quiero demostrar que $Q'$ es el coigualador de los mapas $(s',t') : R' \to U' \times_{R'} U'$ . Así que lo que quiero mostrar es que la formación de cocientes de relaciones de equivalencia conmuta con el cambio de base en la categoría de $fppf$ gavillas
Sé que $(s,t) : R \to U \times_Q R$ es un isomorfismo de $fppf$ gavillas (no es absolutamente obvio pero no es muy difícil de ver). Esto implica muy fácilmente que $R' \cong U' \times_{Q'} U'$ . Así que la cuestión es demostrar que $U' \to Q$ es el ecualizador de $p_1,p_2 : U' \times_{Q'} U' \to U'$ .
Mi idea era mostrar que $U' \to Q$ es un epimorfismo porque ya he demostrado que esto implica el resultado, pero no he podido demostrarlo.
Así que otra pregunta (y quizás más clara) sería : en la categoría de $fppf$ ¿son estables los epimorfismos por cambio de base? Permítanme recordarles que un morfismo $\alpha : F \to G$ de $fppf$ (en la categoría de $S$ -) es un epimorfismo si para cada $S$ -sistema $T$ y para cada sección $s \in G(T)$ existe y $fppf$ cubriendo $\{T_i \to T\}_{i \in I}$ tal que $s_{|T_i}$ es a imagen y semejanza de $F(T_i) \to G(T_i)$ .
Ciertamente es cierto en la categoría de conjuntos que los epimorfismos son estables por cambio de base, así que imagino que el resultado sería cierto para los epimorfismos de gavillas sobre cualquier sitio.
De todos modos, si no es el caso, entonces cómo se puede demostrar que $Q'$ es el coequipamiento de $(s',t')$ ?
