Problema del valor inicial de una ecuación diferencial

Question

Aquí hay un problema de valor inicial bastante estándar con el que estoy teniendo un pequeño problema. $$(\ln(y))^2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x^2y$$ Dado $y(1)=e^2$ , hallar la constante $C$ .

Así que separé e integré para conseguir $\frac{(\ln(y))^3}{3}=\frac{x^3}{3}+C$ . Multiplicando $3$ a ambos lados da como resultado $(ln(y))^3=x^3+C$ . Aquí es donde me costó un poco. Así que tomo la raíz cúbica de ambos lados para obtener $\ln y=\sqrt[3]{x^3+C}$ luego levantó $e$ a ambos lados para obtener $y=e^\sqrt[3]{x^3+C}$ ...? Básicamente, el $C$ y el $e$ me están dando problemas. Agradezco cualquier indicación.

Answer 1

Puede ser más fácil resolver para $C$ en el paso

$$(\ln y)^3=x^3+C$$

$$2^3=1^3+C$$ .

Todo lo demás se ve bien.

Answer 2

En primer lugar, el $C$ en su primera ecuación no es el $C$ en su segunda ecuación. (Si la primera $C$ se llamó $C_1$ El segundo $C$ sería igual a $3C_1$ .)

Usted tiene $y(1)=e^2$ . Enchufando $x=1$ y $y=e^2$ en su última ecuación da como resultado $e^2=e^\sqrt[3]{1^2+C}$ Así que.., $2=\sqrt[3]{1+C}$ . ¿Puedes hacer el resto?

Answer 3

$$y'(x)\ln^2(y(x))=y(x)x^2\Longleftrightarrow$$ $$\frac{y'(x)\ln^2(y(x))}{y(x)}=x^2\Longleftrightarrow$$ $$\int\frac{y'(x)\ln^2(y(x))}{y(x)}\space\text{d}x=\int x^2\space\text{d}x\Longleftrightarrow$$

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Para el LHS, subtitulemos $u=\ln(y(x))$ y $\text{d}u=\frac{y'(x)}{y(x)}\space\text{d}x$ .

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$$\frac{\ln^3(y(x))}{3}=\frac{x^3}{3}+\text{C}$$

Ahora, usa $y(1)=e^2$ :

$$\frac{\ln^3(e^2)}{3}=\frac{1^3}{3}+\text{C}\Longleftrightarrow\text{C}=\frac{7}{3}$$

Así que, tenemos:

$$\ln^3(y(x))=7+x^3$$

Ahora, debido a la condición inicial, sólo se puede utilizar la solución real:

$$y(x)=\exp\left[\sqrt[3]{7+x^3}\right]$$