Aquí $h_n$ es una secuencia de números enteros crecientes. Los paréntesis representan la función de la parte fraccionaria. Estoy buscando una referencia sobre este enunciado (que es obvio si $h_n = n$ ), o una prueba. Recuerdo que este argumento se utilizó para demostrar que $\{p_n \alpha\}$ está equidistribuido mod $1$ si $p_n$ es el $n$ -año primo. En realidad fue publicado en Math.StackExchange pero no puedo encontrar el post más.
Respuesta
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La conclusión de que $\{h_n \alpha\}$ está equidistribuido mod 1 en [0,1) no es cierto. Seleccionemos un irracional $\alpha$ que es ligeramente mayor que $\frac13$ para que $\frac13\lt\alpha\lt\frac12$ en la secuencia {1,2,3,4,...}, eliminando todo el número n para que $\{n \alpha\} \gt \frac23$ para generar una secuencia $\{h_n\}$ . Ahora obtenemos una secuencia creciente $\{h_n\}$ para que $1\le h_{n+1}-h_n\le 2$ para que $\lim_{n\to\infty}\sqrt{h_{n+1}}-\sqrt{h_n}\le \lim_{n\to\infty}\frac2{\sqrt{h_{n+1}}+\sqrt{h_n}}\le\lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt{n}}=0$ pero $\{h_n\alpha\}$ no está equidistribuido en [0,1) ya que $(\frac23,1)$ no está cubierto
