Minimizar la función exponencial bizarra

Question

Estoy tratando de minimizar la función en forma de $f(x) = (1-a^x)^x$ donde $0 < a < 1$ con respecto a $x$ (para $x > 0$ ¡) y estoy atascado!

Por desgracia, la derivada no es lo suficientemente bonita como para utilizar el método tradicional de ponerla a cero.

Algunos gráficos rápidos muestran que el minimizador debería estar en torno a $-1 / \log(a)$ pero no exactamente eso. (De hecho $x^* = - 1 / \log(a)$ es el minimizador de $1 - x a^x$ que se aproxima a $f(x)$ si $a \ll 1$ ).

Agradezco si alguien me puede dar pistas o ideas sobre cómo minimizar dicha función.

Salud,

Answer 1

Diferenciando, se obtiene $$f'=\left(1-a^x\right)^x \left(\frac{a^x x \log(a)}{a^x-1}+\log(1-a^x)\right)=0$$ Desde $a\ne1$ También tiene $a^x\ne1$ y puedes olvidarte del prefactor. Te quedas con $$\frac{a^x \log(a^x)}{a^x-1}+\log(1-a^x)=0\ ,$$ que se escribe mejor como $$a^x \log(a^x)-(1-a^x)\log(1-a^x)=0\ .$$ Ahora defina $y\equiv a^x$ y escribirlo como $$y \log(y)=(1-y)\log(1-y)\ .$$ Definición de $g(y)=y\log(y)$ , se entiende que en realidad hay que encontrar un $y$ que satisface $g(y)=g(1-y)$ y esto obviamente ocurre para $y=\frac{1}{2}$ o $$x=\log_a\left(y\right)=\log_a\left(\frac{1}{2}\right)$$ . Puedes convencerte de que las únicas soluciones a $g(y)=g(1-y)$ son $y=0,1$ .

Answer 2

La derivada no es agradable, pero tener una pista de la solución ayuda a domarla.

$$ \frac{d}{dx} \log{f(x)} = \log{(1-a^x)} - \frac{x a^x}{1-a^x} \log{a} $$

Poner a cero lo anterior (porque $\log$ es monótona), y que $x = \log_a{y}$ . Un poco de manipulación muestra que la ecuación necesaria para encontrar el punto crítico es

$$y \log{y} = (1-y) \log{(1-y)} $$

La ecuación se mantiene cuando $y = 1-y$ o $y=1/2$ como se ha señalado anteriormente. Se puede calcular la segunda derivada de lo anterior para demostrar que efectivamente es un mínimo en este punto.

Answer 3

Otra posible solución (siguiendo las sugerencias de Rahul) es la siguiente:

Tome $u = 1 - a^x$ entonces $f(u) = u^{\log_a (1-u)} = a^{\log_a(u) \log_a(1-u)}$ .

Ahora echa un vistazo a $\phi(u) = \log_a(f(u)) = \log_a(u) \log_a(1-u)$ . Desde $\log_a(\cdot)$ es convexo cuando $a < 1$ , $\phi(u)$ también es convexo para $u \in [0,1]$ . Además $\phi(u)$ es simétrica en torno a $u = 1/2$ es decir, $\phi(u) = \phi(1-u)$ . Entonces su mínimo debe estar en $u = 1/2$ .

Esto demuestra que el minimizador de $f(x)$ es de hecho $x^* = \log_a(1/2)$ .