Estoy preparando una presentación sobre estadísticas paralelas. Pienso ilustrar las fórmulas para el cálculo distribuido de la media y la varianza con ejemplos que implican el centro de gravedad y el momento de inercia. Me pregunto si hay una interpretación física de los momentos centrales tercero o superior que pueda utilizar para ayudar a ilustrar la fórmula general.
Respuesta
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StilesCrisis
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Si por representación gráfica te refieres a los histogramas, deduzco que éste es el mejor enfoque para proporcionar una representación visual de los momentos. Tenga en cuenta que no podemos especificar ningún valor para la curtosis. Pero hay una fórmula para proporcionar la curtosis bajo simulaciones aleatorias.
Siendo k = curtosis, sk = asimetría, la fórmula es: k > sk^2 +1.
A continuación, un histograma con las especificaciones.
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Eso relaciona las propiedades de los momentos con los gráficos de las PDF, pero no es útil para visualizar los cálculos realizados sobre los momentos. Me gustaría poder, por ejemplo, escribir el algoritmo de Welford ( es.wikipedia.org/wiki/ ) en la pizarra, y luego haga un dibujo y diga "Esto es $x_n-\overline{x_n}$ " y que la igualdad sea algo evidente. También en ese enlace hay un algoritmo de flujo para la media. Se tarda unos segundos en ver por qué la fórmula funciona, pero se vuelve inmediatamente obvio si lo dibujo como un problema de centro de gravedad.
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Si debe preservar la interpretación de $x$ ¡como una longitud, entonces cualquier cosa por encima de los terceros momentos requerirá demasiadas dimensiones para ilustrar! En espíritu, tu pregunta y tu comentario son como el impulso de la antigua Grecia de plantear toda la aritmética en términos de geometría. Eso proporciona una visión, pero también limita el alcance de lo que se puede hacer a un pequeño número de dimensiones (de 0 a 3). El uso creativo de los gráficos puede ayudarnos a visualizar dimensiones más altas (y, por tanto, quizá con momentos más altos). Por eso creo que no hay que descartar de plano las ilustraciones basadas en gráficos.
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No estoy seguro de lo que quieres decir con la interpretación física. (Quizás es que no pienso en la media o la varianza en términos de cantidades físicas). Si lo que quieres es repetir el algoritmo de Welford, ¿es matemáticamente algo más que la idea de que para calcular estadísticas de la forma $T = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^n f(x_i)$ siempre se pueden calcular recursivamente a través de: $\;T_1 = f(x_1)$ y $T_i = ((N-1)\cdot T_{i-1} + x_i) / N \;\;$ ? Los momentos brutos siempre pueden calcularse de esta manera, y las fórmulas para los momentos centrados pueden (presumiblemente) derivarse de estos?
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Muy relacionado: stats.stackexchange.com/questions/132914 , stats.stackexchange.com/questions/17595 .
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Muestro fotos en stats.stackexchange.com/a/324197/99274 También se explican los momentos más altos.
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En este trabajo de clasificación de imágenes utilizamos los momentos 3 y 4 como características de entrada mediante redes neuronales de Hermite y Laguerre ( bol.egr.uh.edu/sites/bol/files/files/publications/ ).
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¿Para qué sería útil el cálculo distribuido de momentos superiores? Yo diría que es mejor mostrar esas aplicaciones que mostrar analogías físicas. (Yo vería fácilmente aplicaciones para el cálculo paralelo de cuantiles, pero puede que no haya tantas aplicaciones con los momentos superiores).
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Vaya, esta es una pregunta realmente antigua. Me la hice hace más de una década, cuando era becario de ingeniería de software en un fondo de inversión. Sé que los operadores pedían que se calculara la curtosis de grandes conjuntos de datos, pero no sabía con qué fin. Los asistentes a la charla sabrían mejor que yo cuáles eran las aplicaciones.